小米用户称天冷前轮转向会发出「咯噔」声，官方称是正常现象，车企口中的「阿克曼角」现象到底是怎么回事？

阿克曼转向几何原理

现代汽车使用了一种叫阿克曼转向的技术[1-3]。在该技术出现前，车辆（如马车）主要使用如图 1 所示的单铰链转向技术。尽管单铰链转向也能使内外转向轮路径指向同一个圆心，但其存在很多缺点。因为要绕着中间单一的轴转弯，摆动空间过大会引起很多不稳定。而且因为两个前轮是平行的，转弯过度时容易卡死而动不了。

阿克曼转向（图 2）技术有效避免了单铰链转向的缺点。车轴转弯的时候，内外轮转过的角度不一样，内侧轮胎转弯半径小于外侧轮胎。使四个轮子路径的圆心大致上交会于后轴的延长线上瞬时转向中心，让车辆可以顺畅的转弯。

为了具体说明阿克曼转向几何原理，我们将车辆简化为图 3 所示的结构。

图中 $L$ 为轴距（前轴中点到后轴中点的距离）， $W$ 为轴长， $\phi_i$ 和 $\phi_o$ 分别为内外侧前轮转向角， $R$ 为车辆中心线到瞬时转动中心的距离。则有

$\begin{aligned} \tan\phi_i &= \frac{L}{R-W/2}\\ \tan\phi_o &=\frac{L}{R+W/2}\\ \tan\phi\phantom{_o} & = \frac{L}{R} \end{aligned}$

其中 $\phi$ 为假想位于前轴中点的车轮应有的转向角。将上式中的 $\tan\phi_i$ 和 $\tan\phi_o$ 取倒数并作差，便可得到阿克曼转向公式：

$\cot\phi_o - \cot\phi_i = \frac{R+W/2}{L} - \frac{R-W/2}{L} = \frac{W}{L}$

车辆运动方程

如图 4 所示，车辆的状态可以由 ( $x$ , $y$ , $\theta$ , $\phi$ ) 来描述。其中 ( $x$ , $y$ ) 表示车辆后轴中点位置， $\theta$ 表示车身朝向， $\phi$ 表示前轮转向角。

要根据前轮转向 $\phi$ 和车速 $v$ 获取车辆运动状态，实际上就是确定下面一组微分方程：

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} &= f_1(x,y,\theta,v,\phi)\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} &= f_2(x,y,\theta,v,\phi)\\ \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} &= f_3(x,y,\theta,v,\phi) \end{aligned}$

在图 4 所示的瞬间，后轴中点的瞬时运动方向是垂直于到瞬时转动中心的方向的，因此

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v\cdot \cos\theta,\quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = v\cdot \sin\theta$

其中 $v$ 为车辆（后轴中点）的速度。接下来需要确定车辆朝向的转动速度 $\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t$ 。如果用 $s$ 表示车辆行驶的距离（速度对时间的积分），则有 $\mathrm{d}s$ = $R\cdot\mathrm{d}\theta$ 。根据阿克曼转向几何原理可知 $R$ = $L$ / $\tan\phi$ ，因此有

$\mathrm{d}\theta = \frac{\tan\phi}{L}\cdot \mathrm{d}s \quad\rightarrow\quad \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \frac{v}{L}\tan\phi$

综上所述，我们得到了描述车辆运动的三个微分方程：

$\dot{x} = v\cdot \cos\theta,\quad \dot{y} = v\cdot \cos\theta,\quad \dot{\theta} = \frac{v}{L}\tan\phi$

其中 $v$ 为车速， $L$ 为轴距， $\phi$ 为前轮转向角。

测试

上文根据阿克曼转向几何原理建立的车辆运动方程，只要给出车辆控制参数（前轮转向角和车速）关于时间的函数，就能通过数值积分还原出车辆的行驶状态和轨迹。随时间变化的控制参数是由驾驶员控制的：前轮转向角由方向盘控制，车速由油门和刹车控制。我们人为设置了一个泊车场景，道路和车位情况如图 5 所示。驾驶员需要通过控制车辆前轮转向角和车速，将车从左下角位置移动到右边的停车位中，并且使车头朝外。

模型给出的模拟动画已经显示在图 5 中，对应的控制参数（前轮转向角和车速）如图 6 所示。

通过观察图 6 中车辆中心（红）和后轴中点（蓝）的轨迹，还可以发现：车轮在转弯时，两点的轨迹并不重合，红点轨迹的曲率半径总是略大于蓝点的。这与阿克曼转向几何原理是一致的。

参考资料

[1] Wikipedia contributors. Ackermann steering geometry, 2021: https://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_steering_geometry

[2] Robert Eisele. Ackerman steering, 2008: https://www.xarg.org/book/kinematics/ackerman-steering

[3] Steven M. LaValle. A simple car, 2006: http://planning.cs.uiuc.edu/node658.html

编辑于 2026-01-23 · 著作权归作者所有

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