如何判断镜头光轴有偏移？

前言

首先明确一点：歪轴不是非黑即白，有的镜头可能是某个方向稍微差一点但在可接受范围之内，而有的镜头是受到外力（磕碰、摔、震动等等）之后嗝屁了。所以肉眼土法读测试图的 bug 是碰到前者就不太好评估，而后者基本不用上测试图也能看出来。

@一起来复消色差提到利用中心慧差推断光轴，这也是可行的。理想的光学系统具有旋转对称性，光线应在轴心对称汇聚。一旦镜片发生倾斜 (tilt) 或偏心 (decenter)，原本的轴上光线在经过该镜片时，本质上变成了相对于其几何中心的轴外光线。这会导致中心点出现本不该有的轴外像差（例如彗差）。

我们先搓一个经典的 Sigma 35mm F1.4 ART HSM 用于演示，跑一遍蒙特卡洛公差分析后，发现它最后一片非球面对公差相对敏感。

那么我们把这片镜片沿 Y 轴干歪 0.01 rad，看看轴上点光源 PSF 模拟是什么样的，见图的右下：

对比一下，非常明显混入了慧差。注意这仅仅是歪了 0.01 rad！

而实际上要是中心能观察出来这种情况，必然已经歪轴歪到外太空了。比如有位网友对他的腾龙 45mm F1.8 成像感到非常奇怪，我们对着中心区域放大能看到很多异常：

这是一种很明显的情况，但是，注意我要说但是了，光学系统歪轴 (misalign) 的情形不仅限于倾斜 (tilt) 和偏心 (decenter),还有轴向移位 (desapce)，那这种情况中心还能看出慧差吗？

镜片可能会发生倾斜、偏心或移位。倾斜可以用角度来表示，而偏心和间距变化则是线性矢量。倾斜和偏心的后果是光学表面的一侧会比另一侧更接近波前，从而导致彗差现象的产生——这是光学像差中最主要的类型。

轴向移位是一个矢量，我们还是选最后一片非球，把它沿着光轴移动 +0.02mm，看看结果：

并没有发现慧差，因为此时光束对各透镜仍为旋转对称入射，主要受影响的是球差、场曲等等。

然后如果仅仅发生了偏心 (decenter)，理论上中心也应该有慧差，但是各种像差揉在了一起，这个案例中并不明显：

注：以上仅仅是三种情况的单独模拟，实际情况是千奇百怪的，可以是任意 n 种的排列组合。

所以这时候有强迫症的人就想问了：我花大价钱买的牛头既没有歪的那么离谱，但我又总觉得哪哪不对劲，单看西门子星图和中心慧差也并不明显，那到底有没有能定量评估，要求又相对低、便于实操的方法呢？

有的有的，兄弟，当然有的，不然我在这水答案干嘛

一、光轴可视化：FFD MTF

Dube et al. (2017) 提出了用 FFD（Full Field Display) MTF 来直观展示镜头的光轴情况^[1]，因为常用的 MTF vs 频率或 MTF vs 视场并不适合拿来评价光轴：

这两种图具体该怎么看，可以参考：

如何通过镜头的mtf图判断镜头能‘喂饱多少像素’？

MTF vs 视场的 bug 是如果 S/T 方向只画一条线的话，那它的默认设定就是镜头的光轴没歪，强行拿它来画一个歪轴的镜头不是不行，只是加上误差棒或者区间看起来会很乱；MTF vs 频率的 bug 也同理，视场上的点要是取太多就没什么可读性：

图中显示了81个测量点处MTF随空间频率的变化情况。实线代表子午方向的MTF，虚线代表弧矢方向的MTF。由于标注81个数据点会显得过于繁琐，因此图中没有图例。（Dube et al., 2017)

所以针对这种情况，Dube et al. 建议用 FFD MTF，这个看起来有点像角膜地形图，所以后面就把它叫 MTF 地形图吧：

从左到右、从上到下依次为四种类型的 MTF FFD：弧矢（sagittal）、子午（tangential）、均值（average, T&S），以及差值（difference, T&S）

而所谓 MTF 地形图，本质上是把

$\mathrm{MTF}=\mathrm{MTF}(h,\theta;\nu_0)$

画成一个二维场图。这里 $h$ 是像高， $\theta$ 是像面中的方位角， $\nu_0$ 是某个空间频率。

而所谓的均值图（上图左下），就是把弧矢和子午两个方向取平均值：

$\mathrm{MTF}_{\mathrm{avg}}=\frac{\mathrm{MTF}_{Tan}+\mathrm{MTF}_{Sag}}{2}$

差值图（上图右下）同理： $\mathrm\Delta \mathrm{MTF}=\mathrm{MTF}_{Tan}-\mathrm{MTF}_{Sag}$

对于一个理论上光轴正的镜头来说，它的 MTF 地形图通常应当满足下面几个特征：

左右、上下，至少大体镜像对称；
平均图 Average (T&S) 可以有边角自然下降，但不应该出现过大波动；
差值图 Difference (T&S) 最理想是围绕 0 小范围起伏。Dube 那篇文章里专门强调，Difference (T&S) 对于子午/弧矢向 MTF 随视场和方位变化的梯度极其敏感，也特别适合观察偏离旋转对称的情况。

二、土法但科学的方案：MTF Mapper

有实验室条件能捯饬 Trioptics/Optikos 传函仪当然最好。但既然问出这种问题了，那默认不具备实验室条件。如果在家折腾的话， MTF Mapper 非常值得尝试。

1. 下载程序和准备测试卡

程序：SourceForge 的 MTF mapper 项目页^[2] https://sourceforge.net/projects/mtfmapper/

MTF Mapper

测试卡：文件列表里的 mtfmapper_sample_test_charts_0.5_v5.zip
打印：打印 lensgrid 即可，文件名后面是输出幅面大小，即按 a0/a1/a2/a3 尺寸打印

这个测试图用来测的是 SFR，原理可以看姜老师 @姜尧耕(渔樵耕牍) 这篇，写的很详细：

这才是真正的MTF：从SFR测量流程到一般像差表述，对iso流程的评价

2.拍摄时的原则

测试卡尽量铺平
防抖关
光线均匀
拍 RAW
测试卡尽量占满画面
做一小段焦点包围，不要只拍一张中心合焦图

这里还要特别强调：作者专门提醒过，测试卡必须尽量与传感器平行，否则结果就不准了^[3]。

3. 计算流程

打开 MTF Mapper。
用 File -> Open 载入 RAW 测试图
在 Desired output types 里勾选 Annotated image 和 Grid
点击 Open，等左侧 Data set 里生成结果
点开 annotated，先看 chart orientation

注意 chart orientation 标注了测试卡和传感器的平行情况，分别标了三个角度的偏移：横滚（Roll）、俯仰（Pitch）和航向（Yaw），下图就是看似平行但实际上没平行的情况，严重没平行的情况就不用继续了，因为继续也是白搭。

确保平行无误之后，看 Grid 就行了

光轴比较正的例子:

弧矢子午有差异的例子：

当然 MTF vs 视场也能出图：

下图 a 展示了 D850 机震（反光板）引起垂直抖动导致地形图的变化：

垂直方向的抖动不会影响垂直边缘的清晰度
子午方向在 x 轴方向保持相对高 MTF
弧矢方向在 y 轴方向保持相对高 MTF

图 b 展示了一个光轴正的 Nikkor AI 20 mm f/3.5@f/8 地形图：

同心圆体现光轴良好
子午方向的像差校正稍弱，因此等高线更密集

三、真正完美的镜头，可能少之又少

Dube et al. 测了 2000 多支镜头，价格范围从 125 美元到 42750 美元。结果大吃一惊：真正表现非常接近理想旋转对称状态的镜头，不到 10%。

当然，不到 10% 接近完美不等于 90% 都是歪的。这两个概念差得很远。

所以更准确的理解应该是：

绝大多数镜头都存在某种程度的装配误差、样本差异；
其中很多镜头在实际拍摄里依然完全能用，甚至很好用；
真正值得警惕的是那种差异明显、对称失衡、中心也混入异常像差的情况。

即便是牛头，样本之间的 MTF 地形图也可能长得不一样。

Delly et al. 测了三支 Sigma 40 mm f/1.4 镜头^[4]，虽然各有差异，但作者认为，三支镜头依然都符合对一支大光圈牛头的预期。

四、趣味发现

1. LoCA

这套 MTF 测试还能看出轴向色差。通过测量红、绿、蓝三个通道的 MTF，看它们的最佳焦点是否重合。

举个例子：腾龙 45mm f/1.8 全开光圈拍摄时，会发现 R 通道的焦点和 G/B 不在同一个位置。具体来说，要让 R 成像最清晰，对焦距离得比 G 往前推大约 48 毫米（物方）；而 G 和 B 的焦点倒是基本重合。这种焦点错位反映到传感器上，就是红绿通道之间有大约 44 微米的轴向色差。

2. 质量评价指标

Delly et al. 对比了几支超广角镜头在最优对焦状态下的成像表现。从 MTF 地形图上能看出，Irix 15mm 这支镜头在画面中心区域的对比度不仅偏低，而且分布很不均匀，明显比其他几支镜头差一截。

作者认为，这种肉眼可见的差异，完全可以转化成具体的量化指标——就像工厂质检设的标准一样，不合格的直接筛掉。

于是他们设计了一个简单的评分体系 MTFQ，具体设定是：针对全画幅，测试频率选 40lp/mm，光源波长大约 530-570nm。

评分包含两部分：

第一项取全画面 MTF 值的第 5 百分位（记作 $\text{MTF}_{5\%,F}$ ），用于量化在图像几乎任何位置都能达到的最低 MTF 水平

第二项只看中心画质——取中心 8mm 范围内 MTF 的第 5 百分位（记作 $\text{MTF}_{5\%,C}$ ）。

最后把这两个数取平均，就是这支镜头的总分：

$\text{MTFQ} = \frac{\text{MTF}_{5\%,F} + \text{MTF}_{5\%,C}}{2}$

实测下来，四支镜头的得分分别是 0.19、0.49、0.45 和 0.54。Irix 那支只有 0.19；就连 14-24mm 这种变焦镜头都拿到了 0.54，可见这个评分体系确实能拉开差距。

3. 测试图平整度

作者阐明了 MTF 测试中对焦深（Depth of Focus）的限制及其与成像倍率的定量关系。在成像倍率 $m = 1/33$ （即像高与物高之比 $h'/h = 1/33$ ）且光圈 f/1.4 的条件下，系统的焦深极为浅，仅允许约 3 毫米的离焦容差；一旦超过此限，MTF 值便会跌落 0.01 以上。

据此，可推导出测试图表机械平整度的理论约束：

允许的离焦公差 $\Delta z$ 与成像倍率 $m$ 的平方成反比，即 $\Delta z \propto 1/m^2$ 具体而言，当倍率从 1:33（ $m_1 \approx 0.0303$ ）降低至 1:77（ $m_2 \approx 0.0130$ ）时，由于 $(m_1/m_2)^2 = (77/33)^2 \approx 5.4$ ，图表的平面度公差相应放宽约 5 倍，从 3 毫米增至 15 毫米。这意味着在高倍率（近摄）条件下，测试图表必须保持高平整度（起伏小于数毫米），否则离焦引入的 MTF 误差将与镜头像差混淆，导致测量失效；而在低倍率（远摄距）条件下，机械公差则按平方关系显著放宽。