关于偏导数复合函数的定义 是否存在矛盾?

z=f(u,x,y) u=ψ(x,y) f对x的偏导需要u和y不变,那么我可以找出一个函数(比如令u=x+y),u、y不变时x也不能变,那么这时f对x偏导还存在吗?意义又是什么? 第二个问题,显然z对x的偏导和f对x的偏导不同,也就是说,在这个偏导表达式中,把z换成了相等的x,新式子和原式不想等了,但是在别的情况下,把偏导式中的一部分换成相等的仍然和原式相等(在一元函数导数里这样也是成立的)那么什么样的情况下相等呢?是看意义…
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9 个回答

谢邀。

这是微积分初学者常见的混淆。首先必须强调一点:偏导数是相对某个具体的坐标系才有意义的。比如你举的第一个例子:z=f(u,x,y) u=ψ(x,y)。如果你使用坐标系(u,x,y)的话,那么你求出的3个偏导数(f_u,f_x,f_y)是一个整体(f_u代表f对u的偏导,下同),那么你就得把(u,x,y)当成3个独立的变量,你就不能把u看成ψ(x,y)。如果你要把u看成ψ(x,y), 那么你实际上求得就是z=f(ψ(x,y),x,y)这个复合函数在坐标系(x,y)下面的偏导数。这两件事情是有区别的,实际上你自己也意识到了,所以你会区分 f对x的偏导 和 z对x的偏导 。但是你仍然没有意识到 偏导数必须要先选取坐标(选取所有待求偏导的变量)以后,才有意义。


那么我们分析下链式法则。在上述例子中,链式法则是怎么一回事呢?比如我们想求z_x (相对于坐标系x,y),那么链式法则告诉我们:z_x=f_u * u_x + f_x * x_x + f_y * y_x,但是x_x=1, y_x=0,所以z_x=f_u * u_x + f_x 。在上述计算中,f_u,f_x,f_y正是我第一段提到的:f在坐标系(u,x,y)下面的3个偏导数,在这一步你要把u看成跟x,y独立的变量。然后呢,你再把u=ψ(x,y),x=x,y=y带进f_u,f_x,f_y的表达式中,从而得到最终结果——不要忘记:f_u,f_x,f_y是3个关于(u,x,y)的函数(偏导数是有自变量的函数,不是固定不变的数),所以你要再取映射复合才能得到关于(x,y)的函数,也就是z_x(这个z_x是z在坐标系x,y下面的偏导数,基本事实我要反复强调)。


下一个问题:“x的x次幂求导不能用链式法则”。不是能不能用链式法则的问题,链式法则是对复合函数才能适用的,你首先要把x^x写成复合函数的形式,然后才能讨论使用链式法则的可能性。比如我们可以把h(x)=x^x看成下面两个函数的复合:f(y,z)=y^z,g(x)=(x,x)(注意g是个向量值函数,取值是二维的向量)。那么h(x)=f(g(x)),那么由链式法则:h_x = f_y*y_x+f_z*z_x = f_y+f_z(因为根据g的表达式y=x, z=x,所以y_x=z_x=1),然后你再把f_y,f_z的表达式求出来,把y=x,z=x(也就是与g做复合)带进去,得到最终结果。


其实很多人学微积分的难处并不在于计算复杂,而在于概念不清/概念混淆。很多人总是求快,总是想快速过渡到套公式求导求积分的阶段,中间的逻辑推导过程总是一带而过。但是如果想达到准确的理解,如果不想出现混淆,对于逻辑思维能力不强的人来说,最好还是一步一步做,暂时忍耐一下“秒杀题目”的冲动,把详细步骤一一写出来。总结一下,主要是两点:1.偏导数是相对某个具体的坐标系才有意义的;2.链式法则是对复合函数才能适用的。你首先把你想求导的函数写成 复合函数的形式,比如f=f(u,v,w), u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y),复合一下得到g=g(u(x,y),v(x,y),w(x,y)),那么g_x = f_u*u_x+f_v*v_x+f_w*w_x。请把中间变量u,v,w都写出来,u(x,y)等等的具体函数关系式也写出来,哪怕是u(x,y)=x这种平凡的关系式也写出来,不要省略,不要偷懒。等你觉得自己对所有的概念、整个解题过程都理解得非常清晰的时候,再去追求速度和熟练度。

好久以前看到了一个类似的问题,是这样的


不知道还有多少人对这个问题感到疑惑,的确本科阶段对多元函数微积分部分没有讲的前面一元部分讲的那么细。。。

本质的答案前面的回答都说的很好了,我从几何上说说。

z=f(x,y)\left\{\begin{matrix} z=f(x,y)\\y=g(x) \end{matrix}\right. 不是一回事;几何上说前者是三维空间中的一个曲面,后者是三维空间中曲面z=f(x,y)和柱面y=g(x)的交线。\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}是这个交线上某点切线的斜率,这本质上只不过是一个一元函数,但这种一元函数的导数你不会求,除非fg都是简单的函数,你可以把这个一元函数关系解出来。那怎么办?

这时候多元复合函数求导法则就上场了。不会求\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}不要紧,既然是交线就表示这条线既在曲面上又在柱面上,曲面的偏导数\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}你会求吧,柱面上某点与XOY平面平行的切线斜率\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}你也会求吧,那就行了。复合函数偏导数法则就是告诉你这三者之间的关系,\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}

题主你说的例子和我上面图片里隐函数求导的例子都属于在高维度解低维度问题,都可以这么理解。同维度之间就和一元函数类似了,比如类似\left\{\begin{matrix} z=f(u,v)\\ u=u(x,y)\\ v=v(x,y) \end{matrix}\right. 这样的复合函数。隐函数其实也可以看作一种复合函数。

PS:仅仅是方便理解,说的很不严谨,严谨的推导证明还是要去看书。