关于偏导数复合函数的定义 是否存在矛盾?

z=f(u,x,y) u=ψ(x,y) f对x的偏导需要u和y不变,那么我可以找出一个函数(比如令u=x+y),u、y不变时x也不能变,那么这时f对x偏导还存在吗?意义又是什么? 第二个问题,显然z对x的偏导和f对x的偏导不同,也就是说,在这个偏导表达式中,把z换成了相等的x,新式子和原式不想等了,但是在别的情况下,把偏导式中的一部分换成相等的仍然和原式相等(在一元函数导数里这样也是成立的)那么什么样的情况下相等呢?是看意义…
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题主在评论问:如果我就想把这个函数f限制在R3里的平面u=x+y上,那么考虑对u的导数还有意义吗?

答案是在这个情况下的确没有意义了,原因如下:偏导数其实是方向导数的一个特例,即考虑沿着坐标轴方向的三个方向的方向导数。为什么我们特别喜欢这些偏导数呢?原因是一旦知道了这三个偏导数,其他任何方向上的方向导数都是这些偏导数的线性组合。

如果我们硬把函数f(u,x,y)限制在平面上u=x+y上,那么给定了x和y的值后,沿着u方向就会走出平面,而函数取值这个时候必须在平面上,所以当然不存在u方向的方向导数。

那么你能算什么导数呢?你可以算在这个平面上的任何的方向导数。注意,这个方向必须在平面上。理论上,你只需要取两个向量,只要能张成这个平面就行。然后算这两个向量的方向导数。然后任何其他平面上的方向导数就都确定了。

或者,你也可以选择这个平面的参数化(parametrization),例如把(x,y)映射到(x+y,x,y)的从R2到R3的函数就是这个平面的一个参数化。参数化有时候也叫这个平面上的一个坐标系。然后你把f和这个参数化复合上,再求偏导数。这个时候偏导数都有意义,因为两个偏导数的方向都是在平面上的,而平面上任意其他方向都可以从这两个偏导数得到。

但是注意这两个偏导数完全依赖于你的参数化选取。因为不同的参数化其实就是用不同的坐标系描写平面。那么当然坐标轴可能不同,因此偏导数所对应的方向也不同。永远注意偏导数代表着坐标轴的方向,而坐标轴是人为选取的。你可能很奇怪似乎平常你没有取过坐标系啊。原因是因为R3有一组天然的坐标系,平常默认就是拿这个坐标算的。你当然可以把这个坐标系旋转一下,你会得到不同的偏导数。

现在你可能想,这些东西都似乎依赖于坐标系的选取,或者所谓参数化的选取,那么不变的到底是什么?是方向导数!给定了方向,无论你用什么坐标系来表达这个方向,沿着这个方向的方向导数不依赖于任何坐标系的选取。

要想完完全全明白所有的这些,除了你需要仔细看课本的定义之类的。其实还有个东西你需要学,那就是基础微分几何,也即是流形上的微积分。它会告诉你,在一个一般的流形(曲面曲线的高维推广)上你怎么做微积分。它能告诉你如何不依赖坐标选取来看待这些问题。因为对于一个一般的曲面,或者高维流行来说,根本不存在哪个坐标系更加优越,因此考虑不依赖于坐标系选取的性质更为基本。

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原答案:

我来提供另外一个思路来看这个问题。

题主最大的问题主要是没有函数的概念。

什么是函数?函数需要有定义域、值域和对应法则。当你写z=f(u,x,y)然后u=ψ(x,y),然后说z对x求导。你指的是对哪个函数求导?函数不仅仅是个表达式!

好,你说我要对f(u,x,y)求导,这个函数是一个从R3到R1的函数,对应法则是(u,x,y)映射到f(u,x,y)。当你心中明确了这个函数的时候,你就应该明白u,x,y就是个符号而已,你完全可以换成(a,s,d)。或者更加准确的说就是第一个变元,第二个变元,第三个变元。

好了,我现在开始求导。你可以说我对u求导。但是你心中要明白,你的意思是对第一个变元求导,保持第二个和第三个变元不变。而至于第一个变元叫什么不重要。这时候你可能会说,那万一后两个固定了,第一个也固定了,这不没意义了?如果你心中这么想,那说明你还是没有函数的概念。你求导是对函数操作,不是对表达式。这个函数就是从R3出发到R1的映射。R3里面三个分量本来就是可以随意选取。除非你喜欢把这个函数限制在R3里面比如某个平面上,比如这个平面就是x=y+z。但是当你限制了你的函数,限制后的函数就不是原先那个函数了。什么叫做两个函数相等?定义域一样,值域一样,对应法则也一样。

好,现在你说我想求导的其实是一个复合函数。这个函数从R2映射到R3然后再映射到R1,具体映射方式是(x,y)映射到(ψ(x,y),x,y)再映射到f(ψ(x,y),x,y)。也就是z(x,y)=f(ψ(x,y),x,y)。千万注意,这个是从R2到R的函数。你把这个复合函数叫z,而其中上个段落提到的函数(从R3到R1)你叫f。

好,有了这个设定后,你现在要求z的偏导数。比方说求z对第一个变元的偏导数。那么链式法则真正说的是什么?说的是f先对第一个变元求导。这里f就是那个R3到R1的函数,然后再乘以ψ对第一个变元求偏导。那么请问这里f怎么对第一个变元求导?答案就是原先该怎么求就怎么求,和ψ没关系,和复合没关系,和z也没关系。那么怎么对ψ求导?也一样!想清楚这是个从哪到哪的函数,哪个是第一变元哪个是第二个。然后该怎么求怎么求。然后再加上f对第二个变元求偏导。这个时候怎么求?一样该怎么求就怎么求。

所以,一个函数不仅仅是个表达式。函数是定义域,值域,对应法则三个东西形成的一个整体。你要老觉得是不是三个变元互相有关系,那说明你根本不知道函数定义域在哪。定义域告诉你了三个变元之间的关系。当你玩做复合的时候,心中要知道是谁跟谁复合,复合前都是谁,从哪到哪,复合完了是谁,几个变元,从哪到哪。然后再求导。