假设用一根 300 万千米的电缆给灯泡供电,切断电源后灯泡要多久才会熄灭?

想添加一个,如果是一块超巨大的金属呢?长宽高都是3000万千米,正方体中间有一层绝缘分开,左右两个长方体作为电源的两极,然后断电.会有什么区别? —————————————————————用一根 300 万千米长的电缆给灯泡供电,现在我们切断电源,灯泡要多长时间才会熄灭? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 假设电缆导体材质为纯银,…
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@Patrick Zhang 的答案旁征博引,蔚为大观,又上了知乎日报,晚辈甚是佩服。不过个人认为张工错得相当离谱,而今受众已广,不宜再误人子弟,望与张工商榷。

第一个错误比较明显,就是在计算导线电阻的时候算错高估了100倍,计算导线总电容一开始也算错了12个数量级(张工已经修改)。

电阻的计算中,张工采用的公式如下:

请注意红框的部分,这数字是一个百分比,还要再除100才是真正的倍数!!!!
于是张工得到的导线总电阻4837兆欧,是被高估了100倍的。真正的结果,应该是48兆欧。其中直流电阻每公里8欧姆,三百万公里 24兆欧 ,数量级也完全对得上。

同样,电源电压也应该是几兆伏特级别。这里张工也算错了。

电容的计算中,张工的公式我没见过,于是我决定采用大学物理里学过的双圆杆电容公式,应该与张工的结果没有数量级的差别才对:

(网络搜图,侵删)

代入\varepsilon _{r} =5, \varepsilon _{0} =8.9\times 10^{-12} F/m, s=6.94\times 10^{-3}  m, r=1.13\times 10^{-3}  m

得到单位长度电容应为:
C_{L}=78.21\times 10^{-12} F/m =   78.21\times 10^{-9} F/km

三百万公里电线的总电容为
C_{total} =3\times 10^{6}\times 78.21\times  10^{-9}=0.234 F

和张工的结果相当接近。

一般来说,一个知乎答案先来这么一大堆公式,哪怕完全是错的,骗个上百赞也没啥问题。
但我要认真的提醒所有观众:

以上全错!!!!
以上全错!!!!
以上全错!!!!

为什么?因为这个场景里,我们讨论的是三百万公里需要的传播时间,不管你是无敌黑科技超导体导线,人类科技屏蔽三相铜导线,还是未来科技超远程无线充电,结果统统没有本质差别。电阻电容算得越精确,就越影响你回到正确的方法上。


张工犯了一个隐秘而致命的错误:他虽然意识到这是个传输线问题,但没有采用传输线的分析方法。

他一直使用
t=3rc
计算时间。但这个公式仅仅适用于集总模型,并不适用传输线!而且这个公式只能算单极点系统达到终值97%的时间,如果是达到终值50%定义为信号到达(这才是最常用的),0.69rc就够了!!


举个例子,现在张工使用了内阻1000欧姆的电源计算开灯时间得到几百秒,那,制造一个很好的内阻只有10欧姆的电源(这完全可行,毫无技术含量 ),按照集总模型
t=3rc=3\times 10\times 0.2=6s

6秒就能把灯泡熄灭!一个强大的电源,轻松超光速!!

1欧姆的电源呢?0.6秒搞定,超光速十几倍!
这种荒谬的情况说明,集总模型是不适用的,应该采用传输线模型。

*************我是给非电类专业看的注释*******************************************
当传播距离远远小于信号波长时,我们可以假设在每一个时刻,电线上所有点的电压与电流都相同。。比如市电的波长是6000公里,当然可以假设家里同一路上每一个灯泡的电压都一致,他们之间的差别可以简单线性推导。这就是集总模型。

但当信号波长开始和传播距离相近,甚至更小的时候,就不能假设路径上所有点的电压在同一时刻都相等,则必须引入传输线模型。市电的波长是6000km,几百公里的电线就应该用传输线分析了。
**********************注释完毕***************************************************************

因此,哪怕三百公里的电线,都该用传输线来分析了,何况三百万公里呢?

如果是直流电呢?开关这个动作,就不是直流电,也是有时间有带宽的啊!假设正常人手速需要0.01秒闭合开关,那么其等效带宽约为
BW=\frac{0.35}{0.8\times 0.01} =43.75Hz

基本上和市电一致,所以开关直流电源这个事件本身,也必须按照传输线分析。

那么,考虑到电线上的电阻,采用有损传输线的速度公式:
v=\frac{w}{\sqrt{\frac{1}{2}[\sqrt{(R_{L}^{2}+w^{2 }L_{L}^{2})(G_{L}^{2}+w^{2 }C_{L}^{2})   } ]+ w^{2 }L_{L} C_{L}}-R_{L}G_{L}    }

.......这是什么鬼............不过根据张工给出的参数,应该是可以慢慢算出来的,等我几天。

还是简单粗暴的采用手册上某种UTP电缆标准值,
v=0.6c
即传播速度是光速的0.6倍计算,大约17秒灯泡点亮。

或者直接使用无损传输线的简化模型,采用张工给出的\varepsilon =5
v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon } } \approx 0.44c
传播速度是光速的0.44倍,大约23秒点亮。

这两个值比较接近,没有530秒这种夸张的数量级差距。

你们注意到了吗,这里面好像没电阻啥事了。因为本来就没电阻啥事,电阻影响能量传播的效率,但传播的速度基本上只由周围环境的介电常数决定(对非铁磁性材料而言)。一般的材料介电常数也就是真空的几倍,因此,传播速度不会超光速,但也不会慢很多。

3. 题主的另外两个问题是,如果换成纯银会怎样呢?理想超导体呢?

对于传输线而言,材料电阻率对传播速度的影响并不大,只要是不错的金属,十几秒到几十秒没有本质差别。决定其传输速度的,还是电磁波的传播介质,也就是电线的胶皮。但是,越好的金属,损耗在路上的电压越少。

如果是理想超导体呢?导线上没有任何电压损耗,传播速度也只决定于周围的介质,如果是真空中的理想超导体。。。。。恭喜你,10秒钟就可以点亮灯泡了!

4. (此条重新考虑中,存疑)评论里很多人提问,题主问的是熄灭,点亮和熄灭有没有差别?答案很简单,从信号的传输角度来说,没有任何差别。但是点亮灯泡所需要的电压,会有一点点影响。

为什么没差别呢?这就是大学物理里面学过的,线性系统的无输入响应与无状态响应可以线性叠加,一个线性网络充电的过程,和他放电的过程一定是只差一个正负号。这么说可能很多学过的人也需要想一下,为了照顾没学过的人,我们做一个简单的思想实验。

首先,
假设电源的正端到灯泡这段线是个线性的黑盒子(相当合理的假设),那么:
把黑盒子的输出从稳定的0V充电到1V的过程,一定和从稳定的1V充到2V的过程,完全一致。
从2V充到3V也是一样的
从3V充到4V也是一样的
....................................
从-1V充到0V也是一样的
从0V到-1V,不过是-1V到0V的时间倒转,加个负号而已。
那么,从1V到0V,也是一样的,只是加个负号而已。
没想明白的同学,再仔细想想。充电的过程是怎样的,放电的过程也必然一样的。

但是,这个网络里有个东西不是线性的:灯泡

我们假定灯泡是在电流稳定在10mA的时候点亮,低于10mA就熄灭。那么:
如果接通电源后电流值稳定在10mA以下,永远不亮。
如果电流稳定值是12mA,那么点亮灯泡需要电流接近稳定时,熄灭灯泡则快得多。
如果稳定值是20mA,点亮熄灭时间相同。
如果稳定值是90mA,熄灭时间更慢。
但是,这点差距不会超过一个边沿的宽度,在这个例子里,也就是0.0几秒吧,取决于开关的手速与系统的带宽。
一图胜千言,别嫌丑。

5. 丧心病狂的题主又问,如果是长宽高都是3000万千米的金属,正方体中间有一层绝缘分开呢?

你知道你把一维的问题变成了三维吗?你知道三维的问题多难解吗?
我的答案是:
假设两块巨型金属间隔1米,提出这个问题的人在中间做绝缘体,看着附近的灯泡。
在引力作用下金属靠近,挤死题主前,题主应该看不到灯泡熄灭。
完毕。