如何理解马尔科夫过程的主方程的推导过程?

在网上找的PPT,可是对于其中等式3的推导不明白,为什么y1->y2的概率 需要加上不转变的概率,完全不明白?求大神指教。
关注者
5
被浏览
225

2 个回答

从马尔可夫过程到主方程 - 科学空间|Scientific Spaces

这是我对这个推导过程的理解,仅供参考~

最近一直在纠结这个问题,前两天本是来知乎找答案的,一下就看到了这个问题,可惜至今无人解答。刚才偶然在网上看到有人提到L. E. REICHL写的一本教科书《A Modern Course in Statistical Physics》,在里面找到主方程的离散形式推导过程,似有所得,写在此处与题主探讨。如有错误,还请指出。

PPT中的(3)式中 p_{1\mid 1}(y_1, t_1\mid y_2, t_1+\tau) 表示在时间 t_1\rightarrow t_1+\tau 内系统从状态 y_1 转变到状态 y_2 的概率密度。该问题在离散形式下更容易理解,(3)式对应的离散形式为:

p_{1\mid 1}(y_1, t_1\mid y_2, t_1+\tau)=(1-\tau\sum_y^N\omega_{y_1,y})\delta_{y_2,y_1}+\tau\omega_{y_1,y_2}+O(\tau^2) ,[下称式(3*)],

其中 \omega_{y_1,y_2} 为单位时间内系统从状态 y_1 转变到状态 y_2 的概率。此时 p_{1\mid 1}(y_1, t_1\mid y_2, t_1+\tau) 也不再是概率密度,而是概率。

下面说一下我主要纠结的地方,有以下三点:

  1. 上面的等式中为什么要把系统在 t_1\rightarrow t_1+\tau 时间内不转变的概率单独列出来而不是用 \tau\omega_{y1,y1} 来表示?
  2. 系统在 t_1\rightarrow t_1+\tau 时间内不转变的概率是否为 \tau\omega_{y_1,y_1} ,即系统状态保持不变是否等价于自身向自身转变?
  3. \tau\sum_y^N\omega_{y_1,y}=1 ?

如果先默认式(3*)是对的,我们分两种情况来看。

  • y_2=y_1 ,则

\begin{align} p_{1\mid 1}(y_1, t_1\mid y_2, t_1+\tau)&=1-\tau\sum_y^N\omega_{y_1,y}+\tau\omega_{y_1,y_1}+O(\tau^2) \newline &=1-\tau\sum_{y\neq y1}^N\omega_{y_1,y} \end{align}

  • y_2\neq y_1 ,则 p_{1\mid 1}(y_1, t_1\mid y_2, t_1+\tau)=\tau\omega_{y_1,y_2}+O(\tau^2)

这么看貌似是合理的,只是不知道如何理解第2、3个问题。