用放大镜聚月光可以点火吗?

有说法说任何光学透镜也不可能产生比光源表面更热的光 这个说法对吗? 详细问题如下链接 jandan.net/2016/02/14/w 如果这样呢?多组凹、凸透镜组合,汇聚再平行,再汇聚、在平行,再汇聚……如此重复,是否能行呢? 修正补充:图片是错误的,月光,太阳光,星星光都不是严格的平行光,不可能无限汇聚
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Update 1. 2016-05-03: 修改了利用十米级望远镜聚光的条件要求。
Update 2. 2016-05-04: 受评论区启发,新加入了热对流的方程,并略做讨论。

前面几个答案,洋洋洒洒写那么多,就不肯动笔算算吗?

可见光波段,太阳的视星等是-26.74,满月的平均视星等恰好是-12.74(为什么要说“恰好”呢),所以太阳的亮度(单位时间内穿过单位面积的光子数)F_\mathrm{sun}与月球的亮度F_\mathrm{moon}的关系是:
-2.5\log_{10}\left(\frac{F_{\mathrm{sun}}}{F_\mathrm{moon}}\right)=-26.74+12.74=-14
太阳亮度是月球亮度的10^{5.6}\approx400000倍。
我们用直径2cm的凸透镜就可以点燃纸张,所以要想用凸透镜汇聚月光,至少要用12m直径的透镜。
那么答案来了,用10米级的天文望远镜或许可以。
前提:
1、是主镜F数要足够小,否则月光会分散在焦平面上。
2、或者主镜后面加改正镜、目镜,但有功率损失,所以需要更大的主镜。
3、不成像,只聚光,用光波导、微通道、多层掠射等不太常见的光路。
总之,只有一个关键点:有效集光面积。剩下的都是设计问题。

当然,10米级的天文望远镜肯定不是用凸透镜做的,一般都是反射光路,但原则上是对的。
另外,前面没有严格区分流强、亮度这两个概念。流强是单位时间内穿过单位面积的能量,亮度是单位时间内穿过单位面积的光子。如果我们规定光子的能量分布(可见光波段)是一样的,那么流强与亮度成比例。所以没有严格区分。

真正需要考虑的几个量和过程:
1、纸的燃点是130^\circ\mathrm{C}
2、纸的热容是2\;\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/^\circ\mathrm{C}
3、纸的密度约1\;\mathrm{g}/\mathrm{cm}^3
3、考虑覆盖xOy平面的厚度为d(假设约0.1mm)的一张黑色薄纸(完全吸收可见光),纸张大小与光斑大小一样,聚光加热坐标系原点O的同时,热量耗散,130度以下的黑体辐射与热传导、热对流相比实际上可以忽略不计,换句话说,主要考虑空气散热。可以列下面这个近似的方程:
\frac{\partial T}{\partial t}=D\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}+\frac{F_\mathrm{moon}}{C \cdot \rho_\mathrm{paper}\cdot d}
其中,T是纸张温度,t是时间,z是z轴坐标(把3维梯度\nabla T简化为1维\frac{\partial T}{\partial z }),C是纸热容,D是空气导热系数,F_\mathrm{moon}是月光汇聚到光斑的流强,\rho_\mathrm{paper}是纸密度。
初始条件是T=环境温度,边界条件是远处(z=0.1米)无温度梯度,且温度等于环境温度,所以这就变成了解方程的问题。数值方法近似一下就知道了。
此外,评论区对我强调热传导而无视热对流不满。我承认我确实是拍脑袋做的这个草率的决定……好吧,把简易的热对流的方程也列出来:
\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{F_\mathrm{moon}-h\left(T-T_0\right)}{C \cdot \rho_\mathrm{paper}\cdot d}
其中,h是热传递系数,热源面朝上时,h可近似为:
h=\frac{k \cdot 0.54 Ra_L^{1/4}}{L},其中k是空气的热传导系数,Ra_L取值10^52\times10^7, L是特征长度,取光斑直径,T_0取环境温度。
总之,先列出来吧,有空可以弄个小程序数值模拟一发。


关于另一个问题,光的温度与光源的温度其实不是一回事。光源的温度很好理解,就是温度;光的温度其实说的是将光谱等效为黑体辐射谱,来近似的看黑体温度。例如,偏冷的光(蓝光多)光源温度高,偏暖的光(红光多)光源温度低。这么来看,这个说法是错误的。因为我可以加滤光片呀~

题主贴的那个链接,我点进去看了,从原作者开始扯热力学开始,就无可救药的一路高歌猛进的开启扯淡模式了。不是煎蛋,是扯淡。偷换光源与光的概念、偷换温度与能量的概念、把所有辐射都按照黑体辐射理解、等等……那么问题来了,原作者到底有哪个概念是说对了的?这还真难倒我了……
此帖原为科普帖,所以对各种常见误区做了逐条分析,想直接看结论的请跳到 Update 分割线后
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这的确是一个非常考验物理功底的问题,以下是我的个人理解,当然我也只是一枚学生,如果有不对的地方请大牛指正。

和这个问题相关的的原理有两个,一个是几何光学中的像的亮度 <= 物的亮度(玻恩《光学原理》),另一个是黑体的平均度 <= 光源的平均温度(朗道《统计物理 I 》)。下面我分成光学和热学两部分来写,光学部分用亮度来讨论,热学部分用黑体来讨论。



【光学类】

## 用凸透镜能否将像成到无穷小的一个点上?

凸透镜所成的像的形状和光源一样,如果光源不是一个理想几何点的话,像就永远是一块光斑而不是一个点。即使光源是一个点,考虑衍射的话,所成的像是个艾里斑,斑的半径反比于透镜的直径。所以需要点光源+透镜无穷大,像才是一个点。

## 凸透镜可以改变像的大小,这个缩放率能否做到无穷小?

几何光学中有个定理(我所学的是拉格朗日不变量,原作称之为聚光度守恒定理),在共轴球面镜成像过程中,nyθ 是不变量,n 是所处介质折射率,y 你可以理解为像的尺寸,θ 是外缘光线和光轴的角度。因此为了让 y 变小,θ 就会变大,透镜就要越凸,越凸的透镜,做出来的面积就越小,收集到的光能就变少。所以缩放率可以无限做小,但像的亮度不会无限提高。

## 凸透镜面积小了?那就用 N 个小凸透镜,然后把已缩的很小的光斑引到一块去?

引不了。凸透镜是把像成在焦平面,如果你不在焦平面接住这个像,过了焦平面后像就会又发散开来了。如果你用光纤(或类似的管形镜面),光纤必须打弯,导致一部分光线往回走。

## 用其它类型的透镜?

有人提到菲涅尔透镜,它和凸透镜是一个道理,其面积仍然要受曲率的限制。无论你用什么样的透镜,总是有聚光度守恒定理。

## 像阿基米德那样,在太空中布满小平面镜聚到一点,能否提高像的亮度?

在距离月球 r 的球面上,能摆下的镜子的总面积正比于 r² ,而光能在 r 这个距离上的衰减也是 r² ,又由于平面镜成的是等大的像,在最理想的情况下,你得到的亮度和光源表面的亮度相同。

## 从 nyθ 公式来看,提高折射率 n 是不是也可以?

这一招的确能提高亮度,油镜显微镜就是这么干的。不过你需要将整个像空间都泡在高折射率的介质里,另外亮度仍然是有上限的,像空间亮度 <= 物空间的亮度*(像空间折射率/物空间折射率)^2 ,仅当光学系统内没有吸收或散射时取等号。



【热学类】

## 用一束光一直照射一个散热率很低的物体,能否让物体的温度无限升高?

不能,物体会至少以黑体辐射的形式损失能量,损失的功率为 σT^4 ,故温度最高能达到 σT^4=输入功率。如果光源也是一个黑体,且它的能量全部输出给物体,因公式形式相同故它们最终会达到相同的平均温度。

## 光源不是太阳吗?月球只是反射太阳光而已,温度上限应该是太阳表面的温度啊?

注意“且它的能量全部输出给物体”,月球只接受到了太阳少得可怜的一点立体角的能量。只有当你把太阳和月球包在一个巨大的椭球面镜之内,月光才会和太阳光一样亮。故原文是把月球视作一个单独的主动热辐射光源来讨论的。

## 把月球换成(反射率不是很高的)镜面,能不能点火?

当然能,但月面不能用镜面来近似。因为镜面反射的光是高度定向的,用前面光学中的概念就是提高了聚光度。但真实的月面是漫反射,聚光度低了很多。这是质的区别,所以多低的反射率的镜面也不可以近似月面。

@哈哈哈 提出月光反射了显著的可见光,而 100℃ 的黑体辐射主要为红外光,可见光的比例很少,因此月球不可能被视为 100℃ 的黑体。我没有查到月光的光谱,维基百科告诉我月光的光谱温度约 4100K ,因此我同意前面的观点。

有一个更直接的估计方法:地球和月球到太阳的距离差不多,所以把月球漫散射的光线整理好,和地球被阳光直射的效果是差不多的,所以聚焦月光应当只能加热到室温附近。当然月球也是受阳光直射,所以用月面温度来作估计也是一样的,估计xkcd的作者是想说这个意思…

所以月光的光谱温度是多少并不重要,限制光能进一步聚焦的是聚光度(明天如果有时间我再定量计算一下)

不用算了…我又读了一遍原文,确定作者就是这个意思。透镜对光线的作用是让光源以更大立体角包住物体,如果是直接接收太阳光,透镜就可以让半个球面的立体角都充满太阳,因此能将物体加热到太阳表面的温度。如果让月面包住你,你所能达到的就是月面热平衡的温度(不是光谱温度)


【所以就没办法了吗?】

当然有办法,不然我们要怎么给核聚变点火。虽然平均温度不能超过光源的温度,但点火只要求瞬间温度足够高即可。我们可以让能量积攒一段时间然后一下子输出。注意我说的不是把黑纸片放到保温瓶中之类想当然的手段,因为保温瓶不会做功(术语称为被动装置),仍然是至少以黑体辐射的形式损失能量,只不过室温下主要是以红外线的形式辐射,所以你注意不到。我说的是要使用能主动做功的装置,例如攒上几个月的月光光能给电池充电,然后瞬间短路点燃纸片。这一过程用到了主动装置,超额输出也不可能持续进行,所以不违反热二律。原题目问的是只用放大镜,如果只考虑点燃日常的引火物的话(白磷大家都知道嘛),原文给出结论“不能”是没有问题的。


【2016.05.03 Update】————————————————

这个问题怎么又突然火了… 这个回答是在知乎和果壳两地同时发的,我在 果壳 上做过定量计算了,当时知乎这边很冷清我就懒得再复制粘贴过来…

很多人说要做定量计算,那就算一下也无妨。月光的光谱是啥样并不重要(除了设置一个热二律上限之外),加热能力只和流强有关。月球的视立体角为 π*1737^2/380000^2,透镜最多能将这个立体角扩大到 2π,则流强能增大约 9.5 万倍,而日光的流强约为月光的 40 万倍。所以你聚出来的月光连日光直射都达不到,更不必说点火需要比日光直射更高的流强。

有人表示没懂为什么这么算,那就稍微补充下,前面讲过几何光学 nyθ 守恒,即一维上 折射率*宽度*角范围 守恒,两维上就是 折射率²*光斑面积*立体角守恒,通过缩小光斑来提高流强是以放大立体角为代价的,即 xkcd 作者想传达的聚光度守恒。

我相信大家对下面的表述都不会有异议:

模型涉及三个物体:原光源,间接光源,物体

对于没有反射的间接光源(例如黑体),物体所能达到的温度上限是间接光源表面的温度。

对于完全反射的间接光源(例如镜子),物体所能达到的温度上限是原光源表面的温度。

对于介于黑体和镜面之间的间接光源,物体能达到的温度应用流强(不行我得在这补充一句“结合聚光度”不然你们都不知道重点在哪)来定量计算。


上来就假设平行光的,后面的我根本不用看,平行光的立体角为零,你就是算出能聚出无穷高的流强我也不惊讶。
伪造光谱的 trick 我也早就想到了【 stack 】,结论是不能持续进行,滤光片散热需要做功。
目前的几个新回答并没有比果壳帖讨论出更多东西,我的结论仍不变。

凡是 what-if 原文、本帖、 此帖 (←这是物理系老师做过的计算)已经解释过的问题,物理概念不清,想当然地存在什么东西等,我不再回复。

正如我在光学类最后一点提到的,目前这个问题唯一能做弊的地方是将折射率无限提高,即让色散曲线斜率很大,但根据洛伦兹谐振子模型,此处介质对光的吸收亦很大。目前实验室中实现的超慢光速实际上是用了 EIT (电磁感应透明)技术,即用量子相干效应消除对光的吸收,这已经超出了被动装置的范畴。


【2016.05.04 Update】————————————————

当前排第一的回答认为只要精巧地设计光路,聚光的立体角没上限。如果存在一个被动装置光路能以大于 4π 立体角聚焦能流,那么把月球换成发光黑体即可构成第二类永动机。
现代望远镜那个回答把月光当平行光,这些都导致他们能将聚出来的流强算得任意高。
其它的一些回答在重复讨论我已经提过了的点,我就懒得一一指出了。

这个问题正确的讨论方向是“聚光度守恒原理的适用条件”,只要这个原理成立我的结论就成立。话说回来 what-if 原文问的是放大镜,对单片凸透镜这个原理肯定是适用的,所以人家的结论没问题。

非关于原理的讨论我都不会再看了。


【2016.05.06 Update】————————————————

噫,我不知道是不是国内点不开维基词条(wiki/Etendue)?反正过了两天了也没见到有第三个看懂了聚光度守恒的人出来讨论。

给大家概括一下,聚光度近似说来就是 (nyθ)² 这个量,我们希望光斑越小越好,就是希望其中的 y² 越小越好,而 n 跟 θ 都是有限的,所以我们希望聚光度整体越小越好。


聚光度守恒这个原理推广说来是“聚光度不减”原理,只有理想光学元件系统才守恒,碰到散射和漫反射就会增加。月球起到的就是这么一个作用,把原本太阳直射的很小的立体角一下子扩大到了 2π(所以我们才能在上下弦月时也能看见月亮,亮度也差不多),正是这一步导致聚月光能达到的流强比聚日光小了很多。所以用黑体辐射模型算的人比用镜子模型算的人更接近正确答案,因为按黑体辐射算起码能考虑到立体角的损失。

为啥我前面说“近似说来”呢?因为维基上给出的严格的式子是 (sinθ)²,只有在傍轴时才近似为 θ²,所以上限其实比 2π 还要低,只有 1… [手动再见]