用放大镜聚月光可以点火吗?

有说法说任何光学透镜也不可能产生比光源表面更热的光 这个说法对吗? 详细问题如下链接 jandan.net/2016/02/14/w 如果这样呢?多组凹、凸透镜组合,汇聚再平行,再汇聚、在平行,再汇聚……如此重复,是否能行呢? 修正补充:图片是错误的,月光,太阳光,星星光都不是严格的平行光,不可能无限汇聚
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Update 1. 2016-05-03: 修改了利用十米级望远镜聚光的条件要求。
Update 2. 2016-05-04: 受评论区启发,新加入了热对流的方程,并略做讨论。

前面几个答案,洋洋洒洒写那么多,就不肯动笔算算吗?

可见光波段,太阳的视星等是-26.74,满月的平均视星等恰好是-12.74(为什么要说“恰好”呢),所以太阳的亮度(单位时间内穿过单位面积的光子数)F_\mathrm{sun}与月球的亮度F_\mathrm{moon}的关系是:
-2.5\log_{10}\left(\frac{F_{\mathrm{sun}}}{F_\mathrm{moon}}\right)=-26.74+12.74=-14
太阳亮度是月球亮度的10^{5.6}\approx400000倍。
我们用直径2cm的凸透镜就可以点燃纸张,所以要想用凸透镜汇聚月光,至少要用12m直径的透镜。
那么答案来了,用10米级的天文望远镜或许可以。
前提:
1、是主镜F数要足够小,否则月光会分散在焦平面上。
2、或者主镜后面加改正镜、目镜,但有功率损失,所以需要更大的主镜。
3、不成像,只聚光,用光波导、微通道、多层掠射等不太常见的光路。
总之,只有一个关键点:有效集光面积。剩下的都是设计问题。

当然,10米级的天文望远镜肯定不是用凸透镜做的,一般都是反射光路,但原则上是对的。
另外,前面没有严格区分流强、亮度这两个概念。流强是单位时间内穿过单位面积的能量,亮度是单位时间内穿过单位面积的光子。如果我们规定光子的能量分布(可见光波段)是一样的,那么流强与亮度成比例。所以没有严格区分。

真正需要考虑的几个量和过程:
1、纸的燃点是130^\circ\mathrm{C}
2、纸的热容是2\;\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/^\circ\mathrm{C}
3、纸的密度约1\;\mathrm{g}/\mathrm{cm}^3
3、考虑覆盖xOy平面的厚度为d(假设约0.1mm)的一张黑色薄纸(完全吸收可见光),纸张大小与光斑大小一样,聚光加热坐标系原点O的同时,热量耗散,130度以下的黑体辐射与热传导、热对流相比实际上可以忽略不计,换句话说,主要考虑空气散热。可以列下面这个近似的方程:
\frac{\partial T}{\partial t}=D\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}+\frac{F_\mathrm{moon}}{C \cdot \rho_\mathrm{paper}\cdot d}
其中,T是纸张温度,t是时间,z是z轴坐标(把3维梯度\nabla T简化为1维\frac{\partial T}{\partial z }),C是纸热容,D是空气导热系数,F_\mathrm{moon}是月光汇聚到光斑的流强,\rho_\mathrm{paper}是纸密度。
初始条件是T=环境温度,边界条件是远处(z=0.1米)无温度梯度,且温度等于环境温度,所以这就变成了解方程的问题。数值方法近似一下就知道了。
此外,评论区对我强调热传导而无视热对流不满。我承认我确实是拍脑袋做的这个草率的决定……好吧,把简易的热对流的方程也列出来:
\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{F_\mathrm{moon}-h\left(T-T_0\right)}{C \cdot \rho_\mathrm{paper}\cdot d}
其中,h是热传递系数,热源面朝上时,h可近似为:
h=\frac{k \cdot 0.54 Ra_L^{1/4}}{L},其中k是空气的热传导系数,Ra_L取值10^52\times10^7, L是特征长度,取光斑直径,T_0取环境温度。
总之,先列出来吧,有空可以弄个小程序数值模拟一发。


关于另一个问题,光的温度与光源的温度其实不是一回事。光源的温度很好理解,就是温度;光的温度其实说的是将光谱等效为黑体辐射谱,来近似的看黑体温度。例如,偏冷的光(蓝光多)光源温度高,偏暖的光(红光多)光源温度低。这么来看,这个说法是错误的。因为我可以加滤光片呀~

题主贴的那个链接,我点进去看了,从原作者开始扯热力学开始,就无可救药的一路高歌猛进的开启扯淡模式了。不是煎蛋,是扯淡。偷换光源与光的概念、偷换温度与能量的概念、把所有辐射都按照黑体辐射理解、等等……那么问题来了,原作者到底有哪个概念是说对了的?这还真难倒我了……
貌似清北五院的都来了,明天详细解答一下。

原题中:
这问题看上去很简单。放大镜能把光线汇聚到一个点。很多熊孩子都擅长这个玩火的把戏。Google一下,就知道太阳的亮度是月亮的40万倍。所以我们只要淘宝一只40万平方英寸的放大镜就行了……吧?

只说结论
从科普的角度来说:
答案是:yes
从科学的角度来说:
答案是no。


原文问题在于简单问题复杂化,且混淆概念,类似于吊打文科生。
//////////////////////////////////////////////////////补充正文/////////////////////////////////////////////////////////////////
这个题目首先是阅读题,问题分析的关键词有两点,即点火和月光:
1) 点火这个词是个非常宽泛的概念。先看用来点什么,如果是用来点本身就处于临界状态的易燃物品,如添加了助燃剂放在高精度温控箱中,温度在燃点下0.1摄氏度的高纯度白磷,对能量的要求是极低的;如果是用来点火柴头,要求又要高一点;如果是要点纸,也得根据纸的材料等分类区分。
即便是纸,由于点火成功,实际上是热堆积达到了燃质的燃点的结果,但也要区分对待。个人曾使用过的单峰值功率脉冲激光器,调试为平行光后,秒级时间内烧穿单页A4纸,但是点不燃,原因在于达到使纸燃烧的温度条件前,光着点已被击穿,无法形成热堆积 @pansz 。而同样是这台激光器,使用要求中严格禁止产生聚焦点,因为聚焦点的光功率高到足以电离空气,控制不好,容易引发事故。
对于点火的定义,为满足普遍性,与前面很多分析讨论保持一致,定义为夏日晴天的时候,小盆友们做实验,用口径2厘米,焦距10厘米(这点其实很重要,后文再提)左右的凸透镜点燃普通纸张的过程。那么后面的分析中是否满足点火条件就等价于聚焦光斑是否满足前述光功率(能量)条件。
2)月光。常识告诉我们,月光是反射太阳光产生的。那么月光的来源由两部分构成,对太阳光的反射和自身热辐射。其中的自身热辐射,首先高一点按黑体温度500K由维恩位移算出其辐射峰值为5.8微米。由于题目中问的是月光可认为其波段为可见光波段。峰值为5.8微米的黑体其在可见光波段与太阳反射相比是极小的,常识也告诉我们月光主要来源于太阳反射,那么自身热辐射在可见光这部分我们就不考虑了,只考虑太阳光的反射。
至此,我们将题目转换为于月球对太阳光的反射采用放大镜汇聚后能否形成太阳光直射汇聚的等效效果。放大镜肯定是不行的了,放大镜属于生活中术语,口径都比较小,我们换成光学汇聚系统好了。但是还有一个问题很重要,光谱。
太阳辐射光我们按理想黑体6000摄氏度黑体辐射考虑时,是具有特定的光谱的,但是在直射(日光)和反射(月光)汇聚的过程中,光谱成分是会发生变化的,会影响最终结果,我们对此也要界定一下。
1) 反射按各谱线等比例反射考虑。
2) 反射过程对结果的影响。由于假设反射率是0.5,由于辐射方程是一个带了指数的非线性方程,是不能按温度6000*0.5=3000考虑的。但是可以认为让汇聚系统面积增加1倍,达到相同的效果。
3) 不考虑大气吸收谱对结果的影响。
4) 由于亮度学和辐射学是有差别的,这个差别也跟谱线成分相关。后文的分析中,我们直接引用40万倍这个数字,不考虑亮度学和辐射学的区别(这点我在补充里面说明吧)
说清楚了题目,讲明白了边界条件,开始分析。
理论上,采用理想汇聚系统,口径只需要400000^0.5=635倍口径的汇聚系统,月光可以达到和日光同等的效果,也就是13米左右的口径吧。
但是实际上,这是做不到的,就像脱开剂量谈毒性是耍流氓一样,脱离物理尺度谈系统性能也是耍流氓。
由于光学系统有限口径,使其存在衍射极限,公式为全角(2.44*波长)/口径,对于10米级的光学系统,这个衍射极限是极小的,远小于目标正焦位置汇聚时的光斑大小。对于太阳和月亮这两个非点光源(伪光源)汇聚光斑大小只取决于焦距和视角,太阳和月亮视角直接取0.5度即8.7毫弧度,对应焦距10厘米时,理论光斑大小最小为0.87毫米(当然如果不在焦面位置实际可以小一点点,也就是 @ZX Huo 提的不要求成像,只要汇聚的系统,但是小的很少,也可以忽略)。
但是日光下用的2厘米的光学系统,10厘米的焦距很好做,F数为5就行了。但是对于10米级的光学系统,你要让光学设计给你做到焦距10厘米,小心人家把你送青山精神病院。
那么10米级光学系统,焦距能做到多少?实际上,这又是个很头疼的问题,因为这个级别,各种像差都出来了。只捡最好理解的,系统高角不同主镜自身重力形变引入的像差、环境温度变化导致材料形变都是问题。好吧,我们把各种参数都考虑进去了,等效成F=1好了,这样口径13米的汇聚系统,焦距最小为13米,则光斑大小为13*8.7=113毫米。这样的话,好不容易通过提高口径使汇聚光功率提高,又由于大望远镜系统F数限制,聚焦点上单位面积增大又回去了。
换个思路,通过给定口径,反算焦距,看看能否实现不。
既然问的是月光能点火不,那肯定是地面光学系统了。地面最大光学系统哪家强,必然是大欧罗巴的E-ELT了,口径39米,口径是2厘米的1950倍,忽略大望远镜一切像差,其对月亮聚光能力(这个词用的不准确哈)是后者对太阳的380万倍。那么裕量是9.5倍,则焦距可以放松至10cm*(9.5^0.5)=31厘米。额,没想象中那么好。
好吧,我们把对日光能点火透镜选的再极端一点,1厘米镜头,1厘米的焦距再来看看,则E-ELT的焦距可以放宽松到31厘米的20倍也就是6米,F数为0.15。好吧,这次可以绝望了。
总结:
1、 在前面讨论的前提及文中补充的等效条件下,月光不能点燃太阳光下能点燃的纸。
2、 关键点A:太阳和月亮的视角尺度使其成像不能成为极小点,不能用无穷远处点光源考虑。
3、 关键点B:现实中,大口径光学汇聚系统F数是有限制的,使得不能通过无限增大口径的办法提高系统增益。
4、 但是理论上,这样的系统是可能的,假定系统无像差、无形变、地月相对静止、无大气扰动、光学材料稳定等各种理想条件(耍流氓),通过微元法光线追迹是可以得出焦距极小的光学成像系统镜面曲线的,虽然可能只是数值解无解析解,无法实现。
//////////////////////////////////////我是补充分割线////////////////////////////////////
最后补充题里面那个问任何光学透镜也不可能产生比光源表面更热的光的答案,以及大家讨论里容易混淆的东西:
1、 光是没有温度概念的,另外热这个词描述光学汇聚系统里也不准确,汇聚点产生的温度还跟放的介质吸收谱等有关。由于透镜是个汇聚系统,聚焦点上单位空间的光功率(也就是光辐射通量)是可以超过热源的,但是总功率是低于热源的,与热二不矛盾。原问题对热二严重偷换概念 @章彦博
2、 光的亮度和光辐射量是很容易搞混的。两者区别在于光亮度是以人眼接收光后的响应进行定义,两者之间的转换需要考虑波长值。典型例子是,由于人眼视觉细胞波长选择性,两束不同波长的激光,可以具有相同亮度,但是具有不同光功率。如果不是单色性好的激光,而是自然光这种,没有光谱参数无法转换。
3、 本题简单分析后可以排除月球的黑体辐射,原因前文说的很清楚了。选这条路推公式的,没抓住主要问题。另外,维基百科也不是全对的,4100K我没查 @凌晨晓骥 ,但要么是物理概念错误要么或引用不全 。3600K请查阅公式,属于物理和数学错误 @ATP合成酶 ,文中其他错误先略过。
4、 月球视角有用,但透镜无法扩大该立体角,全包起来也不行,物理概念错误 @LePtC
为什么?