非常神奇的数学结论有哪些?

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写一个我觉得很神奇的数学结论吧。

这是一个关于双曲平面中三角形的面积的结论。首先简单介绍一下双曲几何是什么。双曲几何是非欧几何的一种。我们考虑的是双曲平面。跟欧氏平面不同的是,双曲平面是弯曲的。它的曲率是 -1 。我们有一个很简单的模型来描述这个平面,这个模型叫做Poincare圆盘。整个双曲平面就是一个不带边界的单位圆盘: D = \{z \in \mathbb{C}: |z| < 1\} 。在点 z 处的度量跟普通的度量相比要扩张一个系数,这个系数为 \frac{2}{1-|z|^2} 。也就是说在我们看来长度为 a 的线段,在双曲平面里生活的人看来就是 \frac{2a}{1-|z|^2} (当然这并不准确,还要考虑到 |z| 的变化)。那么很容易看到,越往圆盘的边界走,双曲几何中的人就会“变”得越小,因此在这个人自己看来,单位圆盘是一个无穷大的平面,他永远也走不出去,就像如来佛的手掌一样。在双曲平面里,直线就是跟单位圆盘正交的圆或者直线在圆盘内的部分。像下面这样:

Poincare圆盘和上面的直线

直线与直线的夹角跟我们看到的夹角一样。因此双曲平面中的三角形看起来就是下面这个样子:

画的不好,将就着看吧

他看起来好像比欧式平面里的三角形瘦一点。确实,因为双曲平面中的三角形的内角和小于180度(也就是 \pi )。事实上,内角和可以是小于180度的任意值。这就是他看起来比较瘦的原因。好了,下面可以来讲这个很神奇的结论了。

就是:双曲平面中的三角形的面积是完全由内角和决定的。具体的公式如下:

Area = \pi - (A+B+C)

其中 A,B,C 分别为三角形的三个内角的大小。从这个公式我们可以看到:

1、三角形的面积完全由它的三个内角决定;

2、三角形的面积不能无限大,面积永远小于 \pi

这两条都是很反直觉的,特别是第二条,简直匪夷所思。他说的是,虽然在双曲平面中生活的人看起来,整个双曲平面是一个无限大的空间,但是他永远也画不出一个面积等于4的三角形。我们欧式空间里的人就幸福多了,三角形想画多大就画多大。这一点反映了双曲几何与欧式几何的一个本质的差别。这个差别在很多深刻的数学定理中都有不同程度的体现。有兴趣的朋友可以看看我的专栏文章:

少年成名:Kazhdan-Margulis定理

这里面讲的Kazhdan-Margulis定理也是说的这种本质的差别。


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