如何理解指数分布的无记忆性?

书上举个例子说电子元件在使用过a小时候,它还能再使用b小时和它一开始寿命就是b小时的概率是一样的。 日常生活中的电子元件用了十年之后还能和新的有一样的预期寿命吗?觉得不对啊。
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8 个回答

先把结论摆前面:
指数函数的无记忆性来自于泊松过程k=0时的 时间指数性,而泊松过程k=0时的 时间指数性 来自于泊松分布时 lambda的恒定性,也就是离散情况下,二项分布的n*p的恒定性。


@荀迎曙 同学的想法是对的,某时刻坏的概率 恒定得比例于 此刻存留的没坏的物品的数目。
数学得表示就是:
f/(1-F) = lambda (泊松过程中的到达率/强度,constant)
不过可惜的是并没有正面回答问题。


背后的数学道理,我们可以遵循 伯努利分布 -> 二项分布 -> 泊松分布 -> 泊松过程 -> 指数分布 的脉络来观察。

伯努利分布描述的是单次随机事件(Pr = p)的概率;

二项式分布预测的是多次(n次)独立随机事件(Pr =p holds)发生的次数(k为自然数)Pr( K =k) = C_{n}^{k}* p^{k} * (1-p)^{n-k}   ;

泊松分布估计的是单位时间内随机事件的发生次数,比如 售后接到电话的概率。事实上,泊松分布是近似化连续化的二项分布,当n很大,p很小,n*p大小适合时,lambda = n*p(用下自然数e的计算公式就可以转化)。 以接电话为例,每个顾客打电话的概率都是p,很小很小,但是顾客数目很大(n很大),我们就可以用 泊松分布来模拟(k为自然数)
Pr(K = k) = \frac{\lambda^{k} }{k!}*e^{-\lambda}  ;

一维泊松过程就是t时间内的随机过程,有着和泊松分布中一样的lambda,只是 泊松分布观察的是单位时间,泊松过程中t改变,你把泊松分布中的lambda换成泊松过程中的lambda *t就是了(t是连续的,while K是离散的)
Pr(X_{t_{0}+t } - X_{t_{0}} =k ) = \frac{(\lambda*t)^{k} }{k!}*e^{-\lambda*t}

而指数分布描述的是泊松过程中,第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔。间隔大于t的概率就是 泊松过程中k=0的情况,(t是连续的)
Pr(T>t) = e^{-\lambda*t}
这是 只随时间变化的指数函数 !
我们看指数分布无记忆性的定义
Pr(T > a +b | T >b) = Pr(T>a)

我们回溯一下,就会发现,指数函数的无记忆性来自于泊松过程k=0时的 时间指数性,而泊松过程k=0时的 时间指数性 来自于泊松分布时 lambda的恒定性,也就是离散情况下,二项分布的n*p的恒定性。
寿命在现实中本就是一个很综合的概念,甚至很主观,例如一瓶牛奶,保质期是15天,可有的人认为3天就已经不能喝了,也有人几个月后打开发现没有异味,一口喝下,也毒不死人,那么这个牛奶的寿命是以其新鲜程度为标准还是其是否致命为标准呢?

对于电子元件,通常认为,寿命的依据是其主要功能是否失效,但有太多的因素影响到它的功能,包括各种外界的干扰,还有内部磨损,材料老化,这些都不是概率模型讨论的,指数分布这个例子中的产品寿命不是现实中我们理解的寿命,而是在这个产品的的质量不会有任何改变的假设下,故障出现前正常使用的时间,或者两次故障发生之间的正常使用时间。

产品的各项物理特性综合决定了故障发生时间的随机性,这个随机的特点与指数分布一致,指数分布概率密度公式\lambda e^{-\lambda t} 里的参数\lambda 反映了该产品的特性,在产品性能相对稳定的时间内,\lambda 可以认为不变,但这不意味着产品就不会出故障,出故障的时刻无法预知,因此是随机的。随着产品使用过程中的损耗(这个损耗才主要决定寿命),\lambda 在不断变化,因此一个现实中的产品,在不同时期故障间隔对应的指数分布中参数是不同的,也就不能用同一公式去理解它的无记忆性。

另外楼上心之刃的回答举的掷骰子的例子其实符合的是几何分布,几何分布也是一个无记忆性的分布,只不过它是离散的,指数分布是连续的

注,以上是我刚做了一个指数分布的题之后,也对其寿命的例子感到疑惑,然后上网搜索,没有发现满意的答案,倒是看到这有同样的问题,于是干脆自己理了理思路再写下的,因此我也是概率刚入门,没有深思熟虑,或许有很多谬误,因此请楼主慎重,只是个人想法
为什么?