傅里叶变换的意义是什么?

除运算简单之外还有什么优点?傅里叶变换的本质是什么?
关注者
1179
被浏览
126973

傅立叶变换,表面上是“时域到频域”的变换,实际上就相当于一个分解或者换基的操作。简单解释成“时域到频域”至少有两个问题。首先,尽管时域和频域的关系很多时候可以比较形象的理解,比如亮度分布和它的空间频率什么的(参看下文还要提到的 @Luyao Zou 的第一个精彩回答:单个大口径射电望远镜和阵列射电望远镜对比有何优劣? - 知乎 ),但有时他们的关系就不那么直接(比如量子力学的动量波函数和坐标波函数)。其次,这没解释为什么这么操作一下就可以得到正确结果,往往会让人觉得“不明觉厉”,仿佛是一种魔法。但是一旦理解了它是一种分解(或者换基)操作,则只要理解了“基函数”的意义,傅立叶变换就很容易理解(为什么要做、怎么做、为什么这样做)。分解(或者换基)操作的理解可以很容易地推广到其它积分变换,比如拉普拉斯变换中去。而如果简单想象成“时域到频域”的变换,则拉普拉斯变换的“频域”的物理意义很难解释清楚。下面我们从积分变换的定义出发,具体阐述一下这种思路。

一般说来,积分变换具有以下的形式(参见维基百科):

(Tf)(u) = \int \limits_{t_1}^{t_2} K(t, u)\, f(t)\, dt

其中  K(t,u) 就是积分变换的核 (kernel)。这个积分变换的“物理含义”就是, f(t)核函数的复共轭这一组正交基上的展开系数。为什么呢?如果大家学过一点线性代数,就可以发现积分变换具有内积的形式。将 u' 看作参数,如果  K(u',t) K(u,t) 正交,则积分变换无非是给出了向量 \vec{f} 在基函数  K^*(t,u)  上投影 / 分量的通式。要注意的是,这里的基函数不是  K(t,u) 而是  K^*(t,u) 。这是因为,内积的结果是一个“数”而不是向量,所以作为向量的两个被乘函数必须有一个要被取复共轭(相当于转置)。以上推理从内积的狄拉克括号表示的角度看很容易理解: (Tf)(u) = \langle K^*|f \rangle  ——左矢括号 \langle | 自带转置效果,要符合原定义则 bra 内必须是 K^*

在以上的讨论中我提到了向量 \vec{f} ,那它与函数 f(t) 又是什么关系呢?不妨想象一下普通空间的三维矢量 \vec{f}\equiv(a,b,c) ,其中的 a,b,c 也无非是向量 \vec{f} 在  \vec{x},\vec{y},\vec{z} 基矢上的展开系数。也就是说,我们可以通过写出一个矢量在所有基矢量方向的展开系数以及所有基矢量的方式完全确定一个向量。如果把任何一个函数的自变量的任意一个(或者一组,对于多元函数来说)可能的取值看作一个基矢,函数值看作展开系数,那么,任何函数都可以看作是一个向量的一个具体表示。当然了,如果仔细推导一下,函数 f(x) 的一组正交基实际上是 \delta(x) (狄拉克 \delta  函数)。

总结一下,

  1. 函数  f(t)  是向量 \vec{f}在基矢 \{\delta(t)\} 上的展开系数。
  2. 其它任何一组正交函数也可以作为基矢量。
  3. 向量 \vec{f} 在基矢 \{K^*\} 的展开系数就是积分变换 (Tf)(u) 。也就是说, (Tf)(u)\vec{f} 的另一表示。
  4. 由于 f(t)(Tf)(u) 只是同一个向量在不同正交基下的“表示”,而且自变量的符号不同,为了方便区分,我们说 f(t)t 表象中的表示, (Tf)(u)u 表象中的表示。具体的例子比如量子力学里的位置表象和动量表象。

以上的解释仍然比较抽象。实际上,以上述观点进行的傅立叶变换在量子力学中似乎特别多见。如果只限定在薛定谔绘景中讨论,我觉得主要原因是:

  1. 由薛定谔方程的线性导出的态叠加原理以及哈密顿算符的厄米性。这就使得任何一个“奇怪”的量子态总能被分解为一系列本征态的叠加。
  2. 含时薛定谔方程的形式解是复指数函数的形式。而复指数函数正好是复数傅立叶变换的核。
  3. 任何其他一阶偏微分算符的本征函数也是复指数函数的形式,而一阶偏微分算符在量子力学中很常见(比如动量算符)。

所以,量子力学中的傅立叶变换往往就有非常直接的物理意义:将一个态从非本征态表示(从而这个算符对应的可观测物理量一般是随时间变化的)展开为本征态(比如含时薛定谔方程的形式解,从而一般也是定态)的表示。以 @Luyao Zou能量-时间的不确定关系如何导出光谱自然展宽?的精彩回答为例,对于一个有限寿命的激发态 |\Psi\rangle ,它的波函数 \Psi(t) 可以写成

\Psi(t)=\psi(E_0) e^{-\frac{iE_0 t}{\hbar}-\frac{t}{2\tau}}

它的能量随时间变化,于是这不是“真正”的本征态(虽然激发态寿命有限在量子场论中是真空能量起伏的锅,但是在这里不妨认为是没到达真正的本征态)。而能量不变的本征态的形式,由含时薛定谔方程可知,应为

\Psi=\psi(E) e^{-\frac{iE t}{\hbar}}

进一步假设 \psi(E) 基本不随 E 变化(相对于指数部分来说, E \gg \Delta E 时这似乎很合理。这好像就是旋转波近似),则 \psi(E_0)\psi(E) 都可以忽略掉——只不过最后有个常系数而已,不影响线型(总归要归一化嘛)。于是我们就可以以 e^{-\frac{iE t}{\hbar}} 为基函数展开 |\Psi \rangle ,这样我们就得到能量表象中的波函数为 :

\begin{align*} \Phi(E) &\propto \int \limits_{0}^{+\infty} e^{-\frac{iE_0 t}{\hbar}-\frac{t}{2\tau}}\, e^{+\frac{iE t}{\hbar}}\, dt \\ &=\frac{2\tau}{1-i(E-E_0) \frac{2\tau}{\hbar}} \end{align*}

可以看出,上面的展开恰巧就是傅立叶变换的形式。严格地说,核函数是 e^{+i} 形式的在数学上是“逆傅立叶变换”。但我们统一从核函数的复共轭作为基函数的角度考虑——并且考虑到数学上的傅立叶变换也是对称的——那么正、逆只是一个人为规定的叫法的问题,并没有本质区别。实际上,的确有很多量子力学书籍把 e^{+i} 形式的变换称作(正)傅立叶变换,从数学上的“正变换”也是从时域到非时域的角度看,确实也有道理。

最后, |\Psi \rangle 在能量表象中的概率分布也就是光谱线型。同样不考虑归一化因子,线型就是:

\begin{align*} g(E) &= |\Phi(E)|^2 \\ &= \frac{2\tau}{1-i(E-E_0) \frac{2\tau}{\hbar}} \frac{2\tau}{1+i(E-E_0) \frac{2\tau}{\hbar}} \\ &= \frac{\hbar^2}{(E-E_0)^2+\hbar^2/4\tau^2} \end{align*}

也就是洛伦兹线型,有的地方又称之为 Breit-Wigner 线型。

Bottom Line: 傅立叶变换(不管正、逆)作为积分变换的一个特例,无非就是求一个向量在一组正交基函数中的展开系数,或者说一个向量在一组给定正交基中的表示。不用硬记变换的时候到底是用 +i 还是 -i ,实际运用时只要记住内积的表达式就好了。