如何通俗地解释欧氏空间？

一句话总结：欧几里得空间就是在对现实空间的规则抽象和推广（从n<=3推广到有限n维空间）。

欧几里得几何就是中学学的平面几何、立体几何，在欧几里得几何中，平行线任何位置的间距相等。

而中学学的几何空间一般是2维，3维（所以，我们讨论余弦值、点间的距离、内积都是在低纬空间总结的），如果将这些低维空间所总结的规律推广到有限的n维空间，那这些符合定义的空间则被统称为欧几里得空间（欧式空间，Euclidean Space）。

而欧几里得空间主要是定义了内积、距离、角（没错，就是初中的那些定义），理解了这些再去理解数学定义就很明确了。

计算两个向量的内积（对应点相乘再加总）：

内积的几何概念是两个向量的长度与它们夹角余弦的积，所以，内积可以表示成：

于是余弦值就是：

所以角的计算就是：

计算两点x, y间的距离：

关于非欧式空间：

非欧几何，爱因斯坦曾经形象地说明过：假定存在一种二维扁平智能生物，但它们不是生活在绝对的平面上，而是生活在一个球面上，那么，当它们在小范围研究圆周率的时候，会跟我们一样发现圆周率是3.14159……可是，如果它们画一个很大的圆，去测量圆的周长和半径，就会发现周长小于2πr，圆越大，周长比2πr小得越多，为了能够适用于大范围的研究，它们就必须修正它们的几何方法。如果空间有四维，而我们生活在三维空间中，而这个三维空间在空间的第四个维度中发生了弯曲，我们的几何就会象那个球面上的扁平智能生物一样，感受不到第四维的存在，但我们的几何必须进行修正，这就是非欧几何。在非欧几何中，平行的直线只在局部平行，就象地球的经线只在赤道上平行。
闵可夫斯基空间属于欧几里得几何的扩展，它是把时间也作为一个维度进行量化，再添加光速系数，跟洛伦兹变换一样，使得不同惯性系中的运动问题计算得以简化。

引用出自：哪位能用通俗方式解释一下什么是欧几里得空间

保存一下公式的latex火种

\theta = cos\theta^{-1}( \frac{\textbf{a} \cdot \textbf{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|})

2019-02-24

欧氏空间也称为「欧几里得空间」，可以理解为几何空间的度量在线性空间推广的结果，直白地说，欧式空间是一个有「内积」的线性空间，引入内积的目的是为了能够计算两点间的距离和夹角。

让我们先简单地复习平面几何学吧。「位置，location」是空间的基本概念之中最为原始者，空间本身其实就是宇宙之中所有可能的位置的总体。在几何学的讨论中，通常用「点，point」来标记位置， 所以点其实就是位置的「抽象化，abstraction」。当一个「动点，moving point」由一个位置移动到另一位置，其所经过的点组成这个运动的「通路，path」。连结于空间各地之间的通路，则是空间基本概念中第二个最原始者。

平面乃是仅次于全空间的平直子集，它是一种介乎于直线和全空间之间，而又具有连点直线段和直线这种空间基本结构的子空间。所以，平面乃是一种既比空间简单，而又保有空间基本结构的几何结构。平面几何学的课题就是研究平面上所保有的空间基本结构和所反映的各种性质。它是进而研讨空间（立体）几何学的自然而且非常理想的中途站。数学上，空间是指一种具有特殊性质及一些额外结构的集合。

接着，来谈谈为何要引入欧氏空间。在线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算，其具体模型为几何空间，但几何空间的度量性质 (如长度、夹角) 等在一般线性空间中没有涉及。然而在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质通过内积反映都可以得出：

长度： \left| \alpha \right|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}

夹角 <\alpha,\beta> ： cos<\alpha,\beta>=\frac{\alpha\cdot\beta}{\left| \alpha \right|\cdot\left| \beta \right|}

所以说，欧氏空间是特殊的「线性空间」，而线性空间中的「向量」对应于欧几里得平面中的「点」，在线性空间中的「加法运算」对应于欧几里得空间中的「平移」。

注：

1). 欧几里得就是在《Stoicheia》第一卷第四十七个命题中，提出了毕氏定理，也就是说，毕氏定理是欧氏平面几何的一个核心结果。

2). 欧氏空间这个名称容易和线性代数中的内积向量空间混淆，并不推荐使用。

分类：科普 >>数学 >>向量