Homology和Homotopy 能在多大程度上完全决定一个流形的拓扑?

Homology 和 Homotopy都是 拓扑不变量, 如果一个流形的所有同调群和同伦群都已知,这个流形的拓扑在多大程度上被决定了?当然这两者都是同伦等价不变量,所以貌似不可能超过同伦等价.
关注者
59
被浏览
3,825

这种时候我一般会把题主抓出来批评一番:“读书都不仔细,这些书上写得清清楚楚的,你还要问,回去好好读书!”

你的问题可以转化为:如果我们知道一个流型的所有同伦群和同调群,那么这个流型是否在某种等价下唯一?

那我问个简单问题: H^*\mathbb{C}P^2 \cong \mathbb{Z}[x]/(x^3) ,那么 \mathbb{C}P^2S^4\vee S^2 同伦等价么?

Whitehead定理告诉我们,一个拓扑空间之间的映射 f: X \to Y 会诱导一个同伦群之间的同态 f_*: \pi_*X \to \pi_* Y ,如果对所有的n, f_*:\pi_nX \to \pi_n Y 都是同构,则f是weak equivalence。

或者如果f能诱导基本群的同构, f_*: H_nX \to H_nY 对所有的n都是同构,那f也是weak equivalence。

更general的版本(和上面那个等价,但是上面的更好验证一些) f_*: H_nX \to H_nY 是local coefficient 同构,那也是weak equivalence。

当X和Y都是CW complex(这是比流型弱的条件)的时候,所有的weak equivalence都是同伦等价。

所以这儿的要点是什么?有映射f去诱导这样的映射,而不是仅仅有同伦群/同调群之间的同构就足够了!

这些都是写入教科书的经典内容。所以说要读书啊读书。

如果假设是流型的话,条件当然要强很多。但是很容易想到的是,每个CW复形都同伦等价与一个其能嵌入的欧氏空间的某个子流型(反正你又没说闭流型)。所以以上的结论仍然是正确的。

如果是闭流型的话,可以先取universal cover,如果不是contractible的话基本上就gg了,因为我们连球面的所有同伦群都不知道,更别提知道所有流型的了。最后还是要从同调下手。

列几个fact: \mathbb{R}P^{\infty}=K(\mathbb{Z}/2,1) ,其中K(Z/2,1)是所谓Eilenberg-MacLane space。 而Eilenberg-MacLane space在同伦等价下是唯一的,算是一个“知道同伦群就知道所有拓扑”的特殊情形吧。同理还有Eileberg-Moore space(假设单连通的话)。

更难的一个问题是,如果同伦群和同调群都知道了,那么两个拓扑空间是不是同伦等价


题外话:有一些别的代数拓扑工具可以用来解决流型的拓扑问题,比如各种示性类(要求流形上的光滑结构),再比如

The triviality of the 61-stem in the stable homotopy groups of spheresannals.math.princeton.edu

但是这个就太超过一般人的水平了。许多额外的结构需要被用来决定这些拓扑。