有哪些数学问题在高维和低维上情况比较简单,唯独在中间某个维数上很复杂?

简单可能是因为这个问题在某些维度下是trivial的
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Fermat's cubic threefold (费马三次三维体) 上数有理点的问题,即由

x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3+x_5^3=0

所定义的三维体 T\subset \mathbb{P}^4(\mathbb{Q}) 上数有理点的问题 (为了后面说明更方便,选择 x_1,\dots,x_5 而不是 x_0,\dots,x_4 )。

更一般的来说,我们考虑由

\sum_{i=1}^nx_i^3=0

所定义的三次超曲面 V 。我们用

N_n(B)=\{\mathbf{x}:\ \mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n), [\mathbf{x}]\in V(\mathbb{Q}), \max_{1\leq i\leq n}|{x_i}|\leq B\}

这个量来衡量有理点的多少。注意我们考虑的有理点,因此点的坐标的最大公约数为1,然而实际上去掉这个要求,并不影响所得量的主项的阶,只是影响一个系数。

n=3 时,这实际上是费马大定理的一个特殊情形,我们知道对应的方程没有非平凡解。

n=4 时,其定义的是一个曲面,称为Fermat's cubic surface (费马三次曲面)。它上面有平凡的有理点,落在它所包含的直线上,如 x_1+x_2=x_3+x_4=0 上,这样的点贡献在 N_4(B) 这个量当中,大概是 cB^2 个,其中 c 是一个正常数。根据Manin猜想,如果我们把它所包含的有理直线划掉,记新的量为 N_4(B)' ,所期望的有理点个数应该满足当 B\rightarrow \infty时(以下渐近公式均为 B 趋于无穷时,故后面略去不写),有

N_4(B)'\sim cB(\log B)^3,

其中 \sim 表示右端为其主项,对数以 e 为底。这里 (\log B)^3 是有几何解释的,与其Picard群的阶有关。目前已有的结果,关于下界,有

N_4(B)'\gg B(\log B)^3,

由Efthymios Sofos [1]得到的;关于上界,有

N_4(B)'\ll B^{\frac{4}{3}+\varepsilon},

由Roger Heath-Brown [3]得到的。

n\geq5 时,猜想的结果是

N_n(B)=cB^{n-3}+o(P^{n-3}).

我们现在再从另一个方向来看。

n\geq 9 时,Hardy和Littlewood [2]在1929年证明了上述渐近公式是对的。他们证明了

N_n(B)=cB^{n-3}+O(P^{n-3-\delta}).

n=8 时,用Vaughan [6]的工具可以证明

N_8(B)=cB^{5}+O(P^{5}(\log B)^{-\delta}).

注意它的余项的节余要弱。

n=7 时,用Vaughan [7]的工具可以证明一个下界,即

N_7(B)\gg B^4.

n=6 时,Heath-Brown [4]在假设一个与Hasse-Weil L函数相关的猜想 ( \text{HW}_6 猜想) 成立的条件下,证明了

N_6(B)\ll B^{3+\varepsilon}.

这里需要指出Hooley [5]在该猜想成立的假设下,可以建立 n=7,8 情形下相应的渐近公式,即有

N_n(B)=cB^{n-3}+O(P^{n-3-\delta}).

这里余项的节余是 P 的正方次。

好了,我们说了3,4的情形,也说了6及以上的情形,就单独剩下一个5了。

对于 n=5 的情形,考虑 x_1=x_2+x_3=x_4+x_5=0 上的点,我们就有

N_5(B)\gg B^2.

但是实际上这个下界是“欺骗性(cheating)”的,因为这是平凡的下界。如果丢掉这些平凡的有理点的贡献,记为 N_5(B)' 。据我所知,目前还没有关于 N_5(B)' 的相关结果,可以说是个未知领域。

为了帮助大家更直观的了解这个问题的相关结果,我做了一个表格。

我在英国作访问博士生的时候,我的老师Tim Browning让他的学生Efthymios Sofos(他做出了 N_4(B)' 符合猜想的下界)考虑 N_5(B)' 的下界,没做出来。Tim也跟我说了这个问题,让我跟Efthymios讨论下,但是也没有任何新的想法。

所以为什么5这个情形会是更难的呢?

Heath-Brown讲过一个论断,大意是说,当维数非常小的时候,代数的方法会比较有效 (比如考虑 x^2+y^2 的取值问题),当维数非常大的时候,分析的方法会比较有效 (即Hardy-Littlewood圆法),当维数不大不小的时候,我们就很依赖源自几何的方法。

具体到我们的问题上来,当 n=4 时,不管是上界还是下界的证明都依赖于Fermat's cubic surface所包含的有理直线所带来的conic bundle structure (大概是翻译成二次曲线丛结构?)。

(我们还需要说明, n=4 时Heath-Brown也有一个用圆法证明的结果。其结果假设 \text{HW}_4 猜想成立,得到上界

N_4(B)'\ll B^{\frac{3}{2}+\varepsilon}.

该结果比我们之前提到的无条件的结果还要差,但是他考虑的是对所有带系数的四元三次对角型等于0,涵盖的范围更广。)

n\geq 6 时,所使用的方法都建立在Hardy-Littlewood圆法之上。

而恰好 n=5 时,既没有足够好的几何结构,又没有足够多的变量使用圆法。这点非常有趣。

(如果有朋友知道这方面的进展,欢迎讨论!)


参考文献:

[1] E. Sofos, Rational points on the Fermat cubic surface, arXiv:1402.0303.

[2] G.H. Hardy and J.E. Littlewood, Some problems of 'Partitio Numerorum':
IV. The singular series and the value of the number G(k) , Math. Zeit., 12
(1929), 161-188.

[3] D. R. Heath-Brown, The density of rational points on cubic surfaces, Acta Arith., 79 (1997), no. 1, 17–30.

[4] D.R. Heath-Brown, The circle method and diagonal cubic forms, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 356 (1998), 673-699.

[5] C. Hooley, On Waring's problem, Acta Math., 157 (1986), 49-97.

[6] R.C. Vaughan, On Waring's problem for cubes, J. Reine Angew. Math., 365 (1986), 122-170.

[7] R.C. Vaughan, On Waring's problem for cubes II, J. London Math. Soc. (2), 39 (1989), 205-218.