费曼图展开是渐近展开在物理上意味着什么?

很多费曼图展开级数都是渐近级数,尽管我们只需要用到前几阶就能获得物理图像,但展开式最终发散会有什么影响么?有什么好的理解吗?
关注者
349
被浏览
26941

9 个回答

\textbf{\Huge 例子:}

考虑一个欧氏空间中的 0+0 维“量子场论”(可将x视为场\varphi):
Z(\lambda) =\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \exp\big( -x^2 - \lambda x^4 \big) \quad (\lambda > 0)
我们这里假定\lambda很小,显然在\lambda \to 0时,我们得到“自由理论”,Z(0) = \sqrt{\pi}。一方面,这个“模型”是有严格解的,Z(\lambda) = \frac{e^{\frac{1}{8\lambda}}K_{\frac{1}{4}}\big(\frac{1}{8}\lambda^{-1}\big)}{2\sqrt{\lambda}} , 并且\lim_{\lambda \to 0^+} Z(\lambda) = \sqrt{\pi}
另一方面,让我们用微扰方法来“研究”这个“理论”,即先对\lambda做级数展开,然后逐项求积分,可以得到,Z(\lambda) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\lambda)^n}{n!} \Gamma(2n+{1}/{2}) 。上图比较了不同微扰论的结果作为耦合常数\lambda的函数。可见,在\lambda充分小的时候,微扰论给出满意的结果,但在任何有限大的\lambda处,高阶微扰论反而未必会给出更好的结果,也就是说,结果不随微扰展开阶数收敛!换句话说,这个级数的收敛半径为0 —— 微扰论仅在\lambda \to 0时严格成立!

究其原因在于,\lambda = 0Z(\lambda)的一个本性奇点(见下图 \mathrm{Im}\,Z(\lambda))。 该奇点的存在影响了该“理论”的幂级数表示,尽管该理论在“物理区域”\lambda > 0是存在且有良好定义的。


\textbf{\Huge 定义:}
f(x)为某一函数,\{a_i, i=0,1,2,\cdots\}为一序列,称有限和\sum_{i=0}^n a_i x^i \; (n\in \mathbb{Z}^+)f(x)的渐近级数,若它们满足。
\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^n}\Big[ f(x) - \sum_{i=0}^n a_i x^i \Big] = 0
这个定义的意思是说,f(x)\sum_{i=0}^n a_i x^i x充分小的地方值很接近(从上面例子看,这正是我们想要的!)。然而该定义没有说任何关于有限和随着n收敛情况。换句话说,级数\sum_{i=0}^\infty a_i x^i 有可能是不存在的,或收敛半径为0。我们下文用渐近级数专门指这些发散的级数(的有限和)。另外,一个函数的渐近级数若存在则是唯一的,但不同函数可能有相同的渐近级数。


\textbf{\Huge 再求和:}
微扰级数的渐近性——例如量子电动力学(QED)微扰级数的渐近性后面再提 —— 意味着原则上讲,微扰量子场论无法给出充分准确答案,尽管QED的耦合常数足够小,在目前实验精度下不足以引起顾虑。面对这个原则问题,自由人戴儿(Dyson, Freeman John) 曾经断言,解决这个问题要么需要新的物理理论;要么需要新的数学方法。

在我们的例子中,问题显然出在“微扰论”身上。而且考虑到微扰论在3+1维量子场论中的巨大成功,我们希望能够通过微扰论产生的渐近级数来重构原先的可观察量(如能量)或中间(如\beta函数)函数f(x),这样的方法叫做“再求和”。在再求和方法中,渐近级数实际上可以视为一系列可观察量的期望值a_n =  \langle S_\mathrm{int}^n \rangle /n!,我们得任务是从这一系列可观察量中构造出另一个可观察量的期望值。当然,从数学上将,渐近级数一般存在不止一种再求和方法,而不同的再求和方法有可能给出不同的值,例见: en.wikipedia.org/wiki/D

其中一个常用的方法是Borel再求和。对于渐近级数,
f(\lambda) \sim \sum_{n} a_n \lambda^n
考虑相关级数(Borel-Leroy 变换),
B_f(z) = \sum_n a_nz^n/n!
若第二个级数是收敛的(至少存在有限的收敛半径),易证得,
f(\lambda) = \int_0^\infty dz \,e^{-z} B_f(z\lambda) = \frac{1}{\lambda}\int_0^\infty dz \, e^{-z/\lambda} B_f(z)
这里B_f(z)叫做Borel函数,它是系数a_n的生成函数,a_n = B^{(n)}_f(0)
例:若渐近级数形如f(\lambda) \sim \sum_n n! c^n \lambda^n,
则Borel函数形如:B_f(z) = K/(1- cz)

Borel函数B_f(z)的解析性质对渐近级数有着决定性的影响。若B_f(z)的奇点仅仅存在与负半轴,f(\lambda) 很有可能是可以恢复的(只要积分收敛);若B_f(z)的奇点存在于正半轴,重构f(\lambda) 则可能依赖于积分路径的选择,这时候我们需要该场论的更多信息(这也说明,该次建模是不完整的)。总之,渐近级数的发散性最终可以归结与Borel函数的奇性。

Borel再求和也可以更加紧凑的写成:
f(\lambda) \sim \sum_n a_n \lambda^n \sim \int_0^\infty dz \, e^{-z} \sum_n a_n (\lambda z)^n / n!
假如渐近级数的发散性强于n!,还可以构造推广的Borel再求和:
f(\lambda) \sim \sum_n a_n \lambda^n \sim \int_0^\infty dz e^{-z} \sum_n a_n (\lambda z^k)^n / (k n)!, \quad (k\in \mathbb Z^+)
或更强的:
f(\lambda)\sim \sum_n a_n \lambda^n \sim \int_0^\infty dz\,e^{-e^z} \sum_n a_n (\lambda z)^n / \mu_n
这里\mu_n = \int_0^\infty dt\,\exp(-e^t) t^n
至于选取哪种再求和方案,取决与f(\lambda)的解析性。

我们例子中的渐近级数,使用Borel再求和以后成为
\begin{split}
Z(\lambda) 
&\sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\lambda)^n}{n!} \Gamma(2n+{1}/{2}) \\
&= \int_0^\infty dz e^{-z} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-\lambda z)^n \Gamma(2n+\frac{1}{2})}{n!^2} \\
&=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty dz e^{-z} \frac{F\big(\frac{\pi}{2},\frac{\sqrt{1+4z\lambda}-1}{2\sqrt{1+4z\lambda}}\big)}{\sqrt[4]{1+4z\lambda}}
\end{split}其中,
这里,F(\phi, k) = \int_0^{\phi} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}是椭圆积分相应的Borel函数是,B(z) = \frac{F\big( \frac{\pi}{2}, \frac{\sqrt{1+4z}-1}{2\sqrt{1+4z}}\big)}{2\sqrt[4]{1+4z}},其奇点位于在z = -\frac{1}{4},易知,原函数是可以恢复的。事实上,可以使用数值积分验证,得到的恰好是原解析解。


\textbf{\Huge 奇点:}
从渐近级数本身来看,是奇点阻止了渐近级数拥有有限的收敛半径。那么,我们比较关心的问题是,这些奇点反映了理论的哪些性质?还是先看我们的例子。

首先注意到积分形如\int dx \, e^{-S[x]},对积分“最大的贡献”来自于作用量S[x]的最小值(即其经典解,包括其驻点)。从下图看到,在“物理区域”\lambda \ge 0S[x]是有下限的,在非物理区\lambda < 0,体系有不止一个“经典解”(实际上,非平凡经典解x = \pm\inftyS[x] 的奇点)。这表明,积分在\lambda<0是发散的。由于级数的收敛半径取决于\lambda的绝对收敛性,这些非物理区“非平庸平凡解”的存在,限制了渐近级数的收敛半径。


类似的例子还见于量子力学(0+1维量子场论):
非谐振子,H = p^2 +  x^2 +  \lambda x^4
这个模型中微扰论关于\lambda的解析性首先是由 Bender-Wu 研究的,其中的无穷多个奇点又称掰—吴奇点(Bender-Wu singularity)、
双势阱:H = p^2 + x^2 + 2\lambda x^3 + \lambda^2 x^4

在这些例子中,存在非平凡经典解,两者之间存在势垒。而在量子理论中,粒子会从一个经典解隧穿到另外一个经典解,根据WKB,隧穿振幅:\psi \propto \exp\Big[ -\int dx \, \sqrt{2m(V - E)} \Big]; \;\; (V > E)
若做维克(Wick)转动it \to \beta, iS  =i \int dt \big[ m\dot x^2/2 - V(x)\big] \to - S_E = -\int d\beta \big[ m\dot x^2 + V(x) \big]
可见,V \to -V。因此隧穿振幅变成,
\psi \propto \exp\Big[ -i\int dx \, \sqrt{2m(V + E)} \Big]
这代表一个动量为\sqrt{2m(V+E)} 的自由粒子的波函数,这个粒子被称为瞬子(instanton),(当然也可以直接考虑欧氏场论作用量的驻点方法,因为在维克转动下,V反号,势垒会变成势阱 —— 在这个意义上WKB与欧式量子理论的驻点方法是紧密相关的)。

瞬子是量子理论中颇为普遍的物理,它是场论的非微扰解,代表了隧穿现象。由于瞬子的存在,微扰解无法局域于场的局部经典驻点 —— 而这正是微扰论成立的前提,因此这导致了渐近级数。一部分微扰量子场论产生渐近级数,正是因为瞬子的存在。


\textbf{\Huge 场论:}
关于瞬子解对量子场论的影响,李帕托夫(Lipatov)给出了第一个定量例子。不妨考虑欧式量子场论的路径积分:Z(\lambda) = \int\mathcal D_\phi \,e^{-S[\phi, \lambda]}。设Z(\lambda) 有如下微扰级数解:Z(\lambda) \sim \sum_n a_n \lambda^n。将\lambda作为复变量,根据柯西,
\begin{split}
a_n &= \frac{1}{2\pi i}\int \mathcal D_\phi\, \oint_C d\lambda \, \frac{e^{-S[\phi, \lambda]}}{\lambda^{n+1}} \\
&=\frac{1}{2\pi i}\int \mathcal D_\phi\, \oint_C d\lambda  \,e^{-S[\phi, \lambda] - (n+1)\ln \lambda}
\end{split}
在n充分大时,积分的主要贡献来自于S相对于\phi\lambda的驻点。关于\phi的驻点方程给出的正是经典解,而第二个驻点方程则给出,\lambda^{-1} = - \frac{1}{n+1}\int d^4 x \, V[\phi(x)]。需要指出,一般来说可以通过重新定义场(\varphi = \lambda^\nu \phi),将作用量写成S[\phi,\lambda] = S_R[\varphi]/\lambda的形式,其中S_R不依赖于\lambda。因此,a_n \sim \left( \frac{n+1}{eS_R} \right )^{n+1} \approx \frac{(n+1)!}{\sqrt{2\pi(n+1)}}S_R^{-n-1}。若代入前面的Borel求和,f(\lambda) \sim \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty  dz \,e^{-z/\lambda} \,\mathrm{Li}_{\frac{1}{2}}(z/S_R),注意到\mathrm{Li}_{\frac{1}{2}}(x)x=1 的时候发散,因此Borel函数B_f(z)的奇点位于S_R。现考虑欧式空间的\phi^4理论,重新定义过场以后,场方程为\partial^2 \varphi = -\frac{1}{6}\varphi^3
它存在非平凡经典解\varphi(x) = \frac{4\sqrt{3} a}{r^2+a^2},  \; \big(r = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2} \big)
这恰好是一个瞬子,可以看到它仅仅在某一时空点取到峰值。积分可以得到,S_R = -16\pi^2。这样以来瞬子解给Borel函数带来的奇点位于负半轴,因此,我们可以通过Borel再求和将\phi^4理论从微扰级数从还原出来。


\textbf{\Huge 量子电动力学和量子色动力学:}
微扰量子电动力学(pQED)是目前最精确的物理理论之一,例如其对电子磁矩的预测为,
\bm \mu_{e^\pm} = \underbrace{2 \mu_B {\bm S}/{\hbar}}_{\text{\small Dirac}} \times \bigg[ 1 + \!\!\!\!\!\!\! \underset{\underset{\text{\small Schwinger}}{\uparrow}}{\frac{1}{2}}  \!\!\!\!\!\!\! \left(\frac{\alpha}{\pi}\right) + c_2 \left(\frac{\alpha}{\pi} \right)^2 +  c_3 \left(\frac{\alpha}{\pi} \right)^3 +  c_4 \left(\frac{\alpha}{\pi} \right)^4 +  c_5 \left(\frac{\alpha}{\pi} \right)^5 + a_{\text{hadron}} + a_{\text{EW}} \bigg]
其中,\alpha \approx 1/137.036是电动力学精细结构常数,c_2 \-- c_5是一些大小为1左右的的常数,a_{\text{hadron}} \sim 10^{-12}, a_\text{EW} \sim 10^{-14},该预言与实验测量得到的值符合到10^{-12}。尽管如此,人们还是希望知道该理论给出的微扰级数是否收敛。证明这个问题有若干种方法,除了上面提到的李帕托夫方法外, 直接数费曼图也是一种可行的粗估手段。 不过我们这里采用自由人戴儿的物理辩证。

只需要考虑微扰量子电动力学(pQED)也给出的关于耦合常数\alpha的级数。负耦合常数对应着正电荷相吸引负电荷相排斥,这就会导致正电荷聚在一起,负电荷聚在一起,且正负电荷极化真空,从而产生更多的正负电子对,因此同种电荷越聚越多,能量越来越小,趋于负无穷。这显然是一个发散的物理态。因此若耦合常数为负,无论多小,场都可以从真空态,克服质量势垒,隧穿到这个态,从而产生发散的结果。这说明,pQED的微扰级数必然是渐近级数。

QCD的瞬子解带有拓扑荷,因此它们在本质上是非微扰的。瞬子并非pQED、pQCD的Borel函数奇性的唯一来源,在微扰量子色动力学(pQCD)中,圈图的紫外、红外动量过程也会引起Borel函数的奇性(相应的,微扰级数的发散),这些奇性与瞬子相对比,被称为重整化子(renormalon)。pQCD的红外重整化子处在(Borel函数的)正半轴上,这其实并不奇怪,因为pQCD在红外端是失效的,红外重整化子正对应pQCD在红外端非微扰物理的存在。类似的,pQED的紫外重整化子位于(Borel函数的)正半轴上,因为pQED在甚高能量是非微扰的。一般认为,pQCD中的重整化子代表了QCD在红外端的非微扰本质,因此无法使用微扰理论解决,至少仍然需要某些非微扰物理的信息。处理重整化子的最好办法是算子积展开,当然,QCD的问题也完全可以使用分解定理与算子积展开来解决,从而绕过重整化子的概念。


\textbf{\Huge Pad\'e近似:}
在实际计算中,n-阶微扰论需要计算约n!个费曼图,限于计算能力,人们一般仅能得到少数几阶微扰论的结果。pQED对于反常磁矩完整的计算目前仅能达到5圈(如果仅对某一类费曼图感兴趣,也有计算到7-8圈的)。要想重构原可观察量,必须使用有限的微扰论结果对Borel函数进行逼近。由于可以大概知道Borel函数的奇性(奇点的大致位置、阶数、留数),并且知道其某些渐进形式(例如,B_f(z) = K/(1- cz)),比较顺手的一个数值逼近方法是Pade近似 (当然也可以对f(\lambda)直接使用Pade近似但仍然无法解决高阶微扰论收敛性的问题),它将B_f(z)
R_{n,m}(z) = \frac{P_n(z)}{Q_m(z)},\, (Q_m(0) = 1),
并使得
a_n = B_f^{k}(0) = R^{(k)}_{n,m}(0), k=0,1,2,\cdots, n+m
这样能够保存Borel函数的解析性质。在计算高阶圈图效应、临界指数时这是一个常用的手段。不过Pade近似也有缺点,即它无法处理支割线,最多会引入一系列独立奇点来“模拟”支割线。为了精确处理带支割线的理论,我们需要共形变换。


\textbf{\Huge 共形变换:}
仍然考虑任意可观察量f(\lambda)\lambda 的复平面的奇点 (勿要与Borel函数的奇点混淆)。 我们已经指出,这些奇点阻碍了微扰级数的收敛半径。 这些奇点中危害最大的是\lambda=0处的支点; 对于独立奇点,哪怕是在物理区域,我们仍然可能得到有限的收敛半径,只要真实理论的耦合常数落在有限邻域内。为此,我们希望能够通过共形变换将所有的支点消除。例如,f(\lambda) = \sqrt{\lambda},我们可以引入新的耦合常数\xi = \sqrt{\lambda}。 量子力学中的例子可见非谐振子。事实上,共形变换还可以提供方便的解析延拓方法,将落在收敛半径外的耦合常数映射到(新的变量的)收敛半径内。

同样,共形变换也可以用来处理Borel函数的奇性,尤其是Borel平面的支割线。 因此,结合前述方法,共形变换能够大大提高从高阶微扰论重构原可观察量的精度。




世日。
我也思考过这个问题. 我觉得这是微扰场论面临的一个很大的问题. 我高能场论学得不多, 不对还请指正.

渐近级数意味着不可控的近似. 算出一阶和二阶修正和实验符合得好, 并不意味着多算几阶结果就符合得更好. 完全有可能多算几阶和实验就完全对不上了. 虽然物理学家们满足于低阶修正和实验的符合, 但从逻辑上说, 微扰场论不是一个可靠的理论.

其实这是微扰论普遍的问题. 就是在量子力学中, 比如基态能量关于H'=\lambda x^4的微扰也是渐进级数(级数关于\lambda的收敛半径是零). Hitoshi在他的hitoshi.berkeley.edu/22讲义中数值计算了这个渐进级数. 在\lambda=0.01时前40项是可靠的, \lambda=0.05时只有前6项是可靠的.
为什么?