什么是动态规划?动态规划的意义是什么?

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搞过ACM的水货答一下。
排名第一的答案本身已足够好了,但还是太过专业,不能传教于大众,故试着来个通俗的答案
首先,动态规划是一种算法。那么,何谓算法?计算机书籍中不难找到其严谨的学术定义,大众可以简单理解为“解决某一类问题的核心思想”。

先谈动态规划的意义——望文生义,“动态”规划对应“动态”的问题:你并不知道问题的规模会有多大,而不论是个位数还是百万级,都能以较快速度(动态规划是一种泛用性算法,而泛用性算法与特定算法相比往往存在性能差距)将结果正确计算出来。这是对于计算机科学最直观的意义,当然我认为其对人生亦有一定指导意义,但那是见仁见智的事了。

动态规划这一思想的实质其实是以下两点:
1.分析问题,构造状态转移方程
2.以空间换时间

让我们结合一个简单例子来理解一下:
以乘法计算为例,乘法的定义其实是做n次加法,请先忘掉九九乘法表,让你计算9*9,如何得到81这个解?计算9*10呢?9*999……以及9*n呢?
1.分析问题,构造状态转移方程
“状态转移方程”的学术定义亦可简单找到(比如置顶答案),略去不表。光看“方程”二字,可以明白它是一个式子。
针对以上问题,我们构造它的状态转移方程。
问题规模小的时候,我们可以容易得到以下式子:
9*0=0;
9*1=0+9;
9*2=0+9+9;
……
可以得到:9*n=0+9+...+9(总共加了n个9)。严谨的证明可以使用数学归纳法,略去不表。
现在,定义dp(n)=9*n,改写以上式子:
dp(0)=9*0=0;
dp(1)=9*1=dp(0)+9;
dp(2)=9*2=dp(1)+9;
……
作差易得:dp(n)=dp(n-1)+9;这就是状态转移方程了。
可以看到,有了状态转移方程,我们现在可以顺利求解9*n(n为任意正整数)这一问题。
2.以空间换时间
虽然能解,但当n很大时,计算耗时过大,看不出状态转移方程dp(n)=dp(n-1)+9与普通方程9*n=0+9+...+9(总共加了n个9)相比没有任何优势。
这时,如果dp(n-1)的结果已知,dp(n)=dp(n-1)+9只需计算一次加法,而9*n=0+9+...+9(总共加了n个9)则需计算n-1次加法,效率差异一望即知
存储计算结果,可令状态转移方程加速,而对普通方程没有意义。
以空间换时间,是令动态规划具有实用价值的必备举措。