纯律、十二平均律和五度相生律是如何产生的?

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音律更近乎一个数学问题。
音律要解决的是音阶的确定问题。音组都是以「纯八度」(倍频)作为周期。给定一个基准频率(音高)F_0,频率区间 [F_0, 2F_0] 即对应纯八度。所以问题就约化为:通过一组规则映射出一个频率区间 [F_0, 2F_0] 内的其他频率。

一个一般的音律可以表示成:
F(n_1, n_2, \cdots) = g(n_1,n_2,\cdots) F_0,\qquad n_i\in\mathbb{Z}
不同的映射函数g(n_i)对应不同的律制,由「参数」n_1,\,n_2\,\cdots等来参数化(非常类似原子能级所对应的量子数)。如上所述,只需要确定一个纯八度,即满足1\leq g(n_1,\cdots) \leq 2内的参数取值即可。
十二平均律、五度相生律、纯律都是这个一般的音律映射关系的特殊形式。

三种律制:
  • 十二平均律(单参数n
    g(n)=\mu^{n/N} ,\qquad \mu=2,\,N=12,\quad n\in\mathbb{Z}
    十二平均律只有一个单参数nn取遍所有整数就给出了十二平均律中的所有音高。比如,n从1取到12就给出一个纯八度中的十二个音高。这里N=12所以叫「十二」平均律。
  • 五度相生律(双参数m,n
     g(m,n) = \mu^{m} \nu^{n} ,\qquad \mu=2,\nu=3, \quad m,n\in \mathbb{Z}
  • 纯律(三参数m,n,l
    g(m,n,l) = \mu^{m} \nu^{n} \lambda^{l} ,\qquad \mu=2,\nu=3,\lambda=5,\quad m,n,l\in \mathbb{Z}

关于参数:
  • 这三种律制都有一个共同的参数\mu=2。其对应一个简单的比例关系 2:1,即「倍频」,意义是就是「纯八度」。在十二平均律中只有这一个参数。
  • 五度相生律引入了第二个比例关系 3:2,对应「纯五度」。
    相应地,需要一个新的参数\nu=3。所谓「五度相生」,本质上是用两种比例关系2:1和3:2来生成更多的比例,从而划分音阶。
  • 纯律是又引入第三种比例关系 5:4,对应「大三度」。
    当然在 3:2 和 5:4 之间还有一个比例 4:3,但这个比例不是独立的,因为 4:3 = (2:1) \times (2:3)
    相应地,纯律需要引入第三个参数\lambda =5
当然,也可以不用2,\,3,\,5作为参数,而用比如\frac{3}{2},\, \frac{5}{4}等做参数。但是用2,3,5是最简单的不可约形式。

在十二平均律中,相邻半音之间的频率关系是2^{1/12}倍,除了纯八度的倍频音,其他的音的频率关系都不是整数比例关系,或者说不是有理数。这样在乐器制作与调音时就会遇到困难。更易操作的音阶序列是五度相生律,即自然音阶序列。同时,似乎有理数的音高听上去也更为和谐。


五度相生律:

下面以「五度相生律」为例,说明音阶是怎么具体定下来的(即参数m,n具体怎么取):
五度相生律有两个参数(m,n),都取整数,即对应(m,n)-平面上的「整数格点」。
五度相生律中g(m,n) = 2^{m} 3^{n},在一个纯八度内划分音阶,需要确定满足1\leq 2^{m} 3^{n} \leq 2 (m,n)整数取值。画在(m,n)-平面上,即是下图中淡红色区域内的点:
上图中红线斜率为-2/3,同在一条红线上的音高即是「纯五度」关系。可见,7音音阶包含两组纯五度音。
原则上这个淡红区域是无限长,也就是说有无限多种(m,n)的取法。但是实际操作中,总是在原点附近取值。结果就是,在原点附近,正好存在7个整数格点,如上图中的红点所示。这就是五度相生律中的7音音阶。加上基准音高八度(上图中的绿点)一共8个音对应的坐标和音高列表如下:
\begin{tabular}{c|c|c}
\hline 
 & $(m,n)$ & $F/F_{0}\equiv2^{m}3^{n}$\tabularnewline
\hline 
$c^{1}$ & $(0,0)$ & 1\tabularnewline
\hline 
$d^{1}$ & $(-3,2)$ & 9/8\tabularnewline
\hline 
$e^{1}$ & $(-6,4)$ & 81/64\tabularnewline
\hline 
$f^{1}$ & $(2,-1)$ & 4/3\tabularnewline
\hline 
$g^{1}$ & $(-1,1)$ & 3/2\tabularnewline
\hline 
$a^{1}$ & $(-4,3)$ & 27/16\tabularnewline
\hline 
$b^{1}$ & $(-7,5)$ & 243/128\tabularnewline
\hline 
$c^{2}$ & $(1,0)$ & 2\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
音高对应的坐标之间的「相生」关系,可由两个矢量生成:
  • 纯五度:\bm{v} = (-3,2)
  • 纯四度:\bm{q} = (2,-1)
如前所述,有两组纯五度关系,一组由c^1生成,一组由f^1生成,两组之间分别差纯四度。坐标关系如下:
\begin{eqnarray*}
c^{1} & = & (0,0),\\
d^{1} & = & c^{1}+\bm{v},\\
e^{1} & = & c^{1}+2\bm{v},\\
\\
f^{1} & = & c^1 +\bm{q} ,\\
g^{1} & = & f^{1}+\bm{v},\\
a^{1} & = & f^{1}+2\bm{v},\\
b^{1} & = & f^{1}+3\bm{v}.
\end{eqnarray*}


将一个纯八度划分完毕,即可以生成其他周期的音阶。比如一个音高对应坐标是(m,n),则比其高八度的音对应坐标是(m+1,n)。于是,只需要将上图中的点往右平移1个格点,即得到高八度的音阶,如下图。
同样,同在一条红线上的音为纯五度关系。
低八度的音阶依此类推。

要得到包含半音的「12音音阶」,则只需要将(m,n)的取值范围稍稍扩大。如下图:
各个音高对应的坐标之间的相生关系,可如前得到。


为何是「十二」平均律:
之所以采用「十二」平均律而不是诸如「十一」平均律、「十五」平均律,是因为:「十二」平均律是单参数律制里,对「五度相生律」拟合最好的。之所以要拟合或者模拟五度相生律,是因为五度相生律的频率比都是有理数,听起来更和谐。
下图展示了「五度相生律」和「十二平均律」的12个全音阶音高和音名的关系曲线,可见两者惊人地重合
如果是「非十二」的「XX平均律」,则音高如下:
上图中,黑色虚线是「五度相生律」在一个纯八度内的音高。其他分别是各种「XX平均律」的音高。再次看出,「十二平均律」同「五度相生律」符合得最好。
下文节选自巴赫的《十二平均律曲集》介绍及下载,文中讲述了律制的发展,通俗易懂,给我这个乐盲提供了很大帮助。

————————————————以下正文—————————————————

  “律”,即“音律”(intonation),指为了使音乐规范化,人们有意选择的一组高低不同的音符所组成的体系,以及这些音符之间的相互关系。比如大家都知道的do、re、mi、fa、so、la、si,这7个音符就组成了一组音律。研究音律的学问叫做“律学”。也就是研究为什么要选择do、re、mi……这7个音(当然也可以选择其它音)作为规范、这些被当成“标尺”的音是怎么产生的、以及它们之间到底是什么关系的学问。

  对于任何民族来说,只要他们有着丰富的音乐体验,只要他们想积累起关于音乐的知识,迟早都会遇到关于律学的问题。令人惊讶的是,古今不同民族,虽然各自钟爱的音乐形式可谓万紫千红、百花争艳,彼此也没有互相借鉴,但大家的律学的基础概念却出奇地相似。这也许是音乐本身超文化、超地域的魅力所致吧。
(BTW:现代人学习的do、re、mi、fa、so、la、si,这些好像没有意义的单词,其实都是中世纪时西方教会中很流行的一些拉丁文圣咏(chant)的首音节。这些圣咏是西方现代音乐的源头。)

  学过高中物理的都知道,声音的本质是空气的振动。而空气的振动是以波的形式传播的,也就是所谓的声波。所有的波(包括声波、电磁波等等)都有三个最本质的特性:频率/波长、振幅、相位。对于声音来说,声波的频率(声学中一般不考虑波长)决定了这个声音有多“高”,声波的振幅决定了这个声音有多“响”,而人耳对于声波的相位不敏感,所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。
  律学当然不考虑声音有多“响”,所以律学研究的重点就是声波的频率。一般来说,人耳能听到的声波频率范围是20HZ(每秒振动20次)到20000HZ(每秒振动20000次)之间。声波的频率越大(每秒振动的次数越多),听起来就越“高”。频率低于20HZ的叫“次声波”,高于20000HZ的叫“超声波”。
(BTW:人耳能分辨的最小频率差是2HZ。举例而言就是,人能听出100HZ和102HZ的声音是不同的,但听不出100HZ和101HZ 的声音有什么不同。另外,人耳在高音区的分辨能力迅速下降,原因见后。)
  需要特别指出的是,人耳对于声波的频率是指数敏感的。打比方说,100HZ、200HZ、300HZ、400HZ……这些 声音,人听起来并不觉得它们是“等距离”的,而是觉得越到后面,各个音之间的“距离”越近。100HZ、200HZ、400HZ、800HZ……这些声音,人听起来才觉得是“等距离”的(为什么会这样我也不清楚)。换句话说,某一组声音,如果它们的频率是严格地按照×1、×2、×4、×8……,即按2n的规律排列的话,它们听起来才是一个“等差音高序列”。

  由于人耳对于频率的指数敏感,上面提到的“×2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系。用音乐术语来说,×2就是一个“八度音程”(octave)。前面提到的do、re、mi中的do,以及so、la、si后面的那个高音do,这两个do之间就是八度音程的关系。也就是说,高音do的频率是do的两倍。同样的,re和高音re之间也是八度音程的关系,高音re的频率是re的两倍。而高音do上面的那个更高音的do,其频率就是do的4倍。也可以说,它们之间隔了两个“八度音程”。显然,一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”,但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音程”。
  很自然,用do、re、mi写的歌,如果换用高音do、高音re、高音mi来写,听众只会觉得音变高了,旋律本身不会有变化。这种等效性,其实就是“等差音高序列”的直接结果。
  “八度音程”的重要性,世界各地的人们都发现了。比如我国浙江的河姆渡遗址,曾经出土了一管距今9000年的笛子(是用鹤的腿骨做的),它能演奏8个音符,其中就包含了一个八度音程。当然这个八度音程不会是do到高音do,因为只要是一个音的频率是另一个的两倍,它们就是八度音程的关系,和具体某一个音有多高没有关系。

  明白了八度音程的重要性,下面来介绍在一个八度音程之内,还有那些音是重要的。这其实是律学的中心问题。也就是说,如果某一个音的频率是F,那么我们要寻找F和2F之间还有那些重要的频率。
  如果大家有学习弦乐器(比如吉它、古琴、小提琴)的经验的话,都明白它们能发声是因为琴弦的振动。而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。如果在一根弦振动的时候,用手指按住弦的中点,即让原来全部振动的弦,变成两根以1/2长度振动的弦,我们会听到一个比较高的音。这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。因为在物理上,弦的振动频率和其长度是成反比的。
  由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一,所以这种现象古人早已熟悉。他们自然会想:如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现,那么试试按其它的位置会怎么样呢?数学上2:1是最简单的比例关系了,简单性仅次于它的就是3:1。那么,我们如果按住弦的1/3点,会怎么样呢?其结果是弦发出了两个高一些的音。一个音的频率是原来的3倍(因为弦长变成了原来的1/3),另一个音是原来的3/2倍(因为弦长变成了原来的2/3)。这两个音彼此也是八度音程的关系(因为它们彼此的弦长比是2:1)。这样,在我们要寻找的F~2F的范围内,出现了第一个重要的频率,即3/2F。(那个3F的频率正好处于下一个八度,即2F~4F中的同样位置。)
  接着再试,数学上简单性仅次于3:1的是4:1,我们试试按弦的1/4点会怎样?又出现了两个音。一个音的频率是原来的4倍(因为弦长变成了原来的1/4),这和原来的音(术语叫“主音”)是两个八度音程的关系,可以不去管它。另一个音的频率是主音的4/3倍(因为弦长是原来的3/4)。现在我们又得到了一个重要的频率,4/3F。
  同一根弦,在不同的情况下振动,可以发出很多频率的声音。在听觉上,与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F(除了主音的各个八度之外)。这个现象也被很多民族分别发现了。比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前6世纪)。我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦,“三分损一”,即均分弦为三段,舍一留二,便得到3/2F。如果“三分益一”,即弦均分三段后再加一段,便得到4/3F。

  得到这两个频率之后,是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢?不行,因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音F最和谐的3/2F已经找到了,他们转而找3/2F的3/2F,即与最和谐的那个音最和谐的音,这样就得到了(3/2)^2 F即9/4 F。可是这已经超出了2F的范围,进入了下一个八度。没关系,不是有“等差音高序列”吗?在下一个八度中的音,在这一个八度中当然有与它等价的一个音,于是把9/4 F的频率减半,便得到了9/8 F。

  接着把这个过程循环一遍,找3/2的3次方,于是就有了27/8 F,这也在下一个八度中,再次频率减半,得到了27/16 F。
  就这样一直循环找下去吗?不行,因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后,会得到主音的某一个八度,这样就算是“回到”了主音上,不用继续找下去了。可是(3/2)^n,只要n是自然数,其结果都不会是整数,更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。
  数学上不可能的事,只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到(3/2)^5≈7.59,和2^3=8很接近,于是决定这个音就是他们要找的最后一个音,比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样,从主音F开始,我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环5次,得到了5个音,加上主音和4/3 F,一共是7个音。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。
  这7个音符的频率,从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。

  如果这里的F是do,那么9/8F就是re、81/64F就是mi……,这7个频率组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字,在西方音乐术语中,它们分别被叫做主音(tonic)、上主音(supertonic)、中音(mediant)、下属音(subdominant)、属音(dominant)、下中音(submediant)、导音(leading tone)。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa,原因前面已经说过了,因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的,而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”,所以这种音律叫做五度相生律。西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯(所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning),东方是《管子》一书的作者(不一定是管仲本人)。我国历代的各种音律,大部分也都是从“三分损益律”发展出来的,也可以认为它们都是“五度相生律”。
  仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率,可以发现它们彼此的关系很简单:do~re、re~mi、fa~so、so~la、la~si 之间的频率比都是9:8,这个比例被称为全音(tone);mi~fa、si~do 之间的频率比都是256:243,这个比例被称为半音(semitone)。

  “五度相生律”产生的7声音阶,自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。前面说过,如果按住弦的1/5点或者1/6点,得到的音已经和主音不怎么和谐了,现在居然出现了81/64和243/128这样的比例,这不会太好听吧?于是有人开始对这7个音的频率做点调整,于是就出现了纯律just intonation
  “纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来,也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同(今意大利南部的塔兰托城)的亚理斯托森努斯(Aristoxenus of Tarentum)。(东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。)此人是亚理士多德的学生,约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵,而不是靠数学来主导音乐。他的书籍现在留下来的只有残篇,不过可以证实的是他最先提出了所谓“自然音阶”。
  自然音阶也有7个音,但和“五度相生律”的7声音阶有不小差别。7个自然音阶的频率分别是:F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。确实简单多了吧?也确实好听多了。这么简单的比例,就是“纯律”。
  可以看出“纯律”不光用到了3/2的比例,还用到了5/4的比例。新的7个频率中和原来不同的就是5/4F、5/3(=5/4×4/3)F、15/8(=5/4×3/2)F。
  虽然“纯律”的7声音阶比“五度相生律”的7声音阶要好听,数学上也简单,但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了,但各音之间的关系变复杂了。原来“五度相生律”7声音阶之间只有“全音”和“半音”2种比例关系,现在则出现了3种:9:8(被叫做“大全音”,major tone,就是原来的“全音”)、10:9(被叫做“小全音”,minor tone)、16:15(新的“半音”)。各位把自然音阶的频率互相除一下就能得到这个结果。更进一步说,如果比较自然音阶中的re和fa,其频率比是27/32,这也不怎么简单,也不怎么好听呢!所以说“纯律”对“五度相生律”的修正是不彻底的。事实上,“纯律”远没有“五度相生律”流行。

  对于“五度相生律”的另一种修正是从另一个方向展开的。还记得为什么要取7个音符吗?是因为(3/2)^5≈7.59,和2^3=8很接近。可这毕竟是近似值,而不是完全相等。在一个八度之内,这么小的差距也许没什么,但是如果乐器的音域跨越了好几个八度,那么这种近似就显得不怎么好了。于是人们开始寻找更好的近似值。
  通过计算,古人发现(3/2)^12≈129.7,和2^7=128很接近,于是他们把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次,便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和4/3F,现在就有了12个音符。
  注意,现在的“规范”音阶不是do、re、mi……等7个音符了,而是12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶,其频率分别是:F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。
  和前面的“五度相生律”的7声音阶对比一下,可以发现原来的7个音都还在,只是多了5个,分别插在它们之间。用正式的音乐术语称呼原来的7个音符,分别是C、D、E、F、G、A、B。新多出来的5个音符于是被叫做C#(读做“升C”)、D#、F#、G#、A#。12音阶现在不能用do、re、mi的叫法了,应该被叫做:C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相邻两个音符的频率互相除一下,就会发现它们之间的比例只有两种:256:243(就是原来的“半音”,也叫做“自然半音”),2187:2048(这被叫做“变化半音”)。
  也就是说,这12个音符几乎可以说又构成了一个“等差音高序列”。它们之间的“距离”几乎是相等的。(当然,如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话,就是严格的“距离”相等了。)原来的7声音阶中,C~D、D~E、F~G、G~A、A~B之间都相隔一个“全音”,现在则认为它们之间相隔了两个“半音”。这也就是“全”、“半”这种叫法的根据。
  既然C#被认为是从C“升”了半音得到的,那么C#也可以被认为是从D“降”了半音得到的,所以C#和Db(读做“降D”)就被认为是等价的。事实上,5个新加入的音符也可以被写做:Db、Eb、Gb、Ab、Bb。
  这种12声音阶在音乐界的地位,我只用举一个例子就能说明了。钢琴上的所有白键对应的就是原来7声音阶中的C、D……B,所有的黑键对应的就是12声音阶中新加入的C#、Eb……Bb。
  从7声音阶发展到12声音阶的做法,在西方和东方都出现得很早。《管子》中实际上已经提出了12声音阶,后来的中国音律也大多是以“五度相生律”的12声音阶为主。毕达哥拉斯学派也有提出这12声音阶的。不过西方要到中世纪晚期才重新发现它们。

  能不能把“五度相生律”的12声音阶再往前发展一下呢?可以的。12声音阶的依据就是(3/2)^12≈129.7,和2^7=128很接近,按照这个思路,继续找接近的值就可以了嘛。
  还有人真地找到了,此人就是我国西汉的著名学者京房(77BC~47BC)。他发现(3/2)^53≈2.151×10^9,和2^31≈2.147×10^9也很接近,于是提出了一个53音阶的新音律。要知道古人并没有我们现在的计算器,计算这样的高次幂问题对他们来说是相当麻烦的。
  当然,京房的新律并没有流行开,原因就是53个音阶也太麻烦了吧!开始学音乐的时候要记住这么多音符,谁还会有兴趣哦!但是这种努力是值得肯定的,也说明12声音阶也不完美,也确实需要改进。

  “五度相生律”的12声音阶中的主要问题是,相邻音符的频率比例有两种(自然半音和变化半音),而不是一种。而且两种半音彼此差距还不小。(2187:2048)/(256:243)≈1.014。好像差不多哦?但其实自然半音本身就是256:243≈1.053了。
  如果12声音阶是真正的“等差音高序列”的话,每个半音就应该是相等的,各个音阶就应该是“等距离”的。也就是说,真正的12声音阶可以把一个八度“等分”成12份。为什么这么强调“等分”、“等距离”呢?因为在音乐的发展过程中,人们越来越觉得有“转调”的必要了。
  所谓转调,其实就是用不同的音高来唱同一个旋律。比方说,如果某一个人的音域是C~高音C(也就是以前的do~高音do),乐器为了给他伴奏,得在C~高音C之内弹奏旋律;如果另一个人的音域是D~高音D(也就是以前的re~高音re),乐器得在D~高音D之内弹奏旋律。可是“五度相生律”的12声音阶根本不是“等差音高序列”,人们会觉得C~高音C之内的旋律和D~高音D之内的旋律不一样。特别是如果旋律涉及到比较多的半音,这种不和谐就会很明显。可以说,如果现在的钢琴是按“五度相生律”来决定各键的音高,那么只要旋律中涉及到许多黑键,弹出来的效果就会一塌糊涂。
  这种问题在弦乐器上比较好解决,因为弦乐器的音高是靠手指的按压来决定的。演奏者可以根据不同的音域、旋律的要求,有意地不在规定的指位上按弦,而是偏移一点按弦,就能解决问题。可是键盘乐器(比如钢琴、管风琴、羽管键琴等)的音高是固定的,无法临时调整。所以在西方中世纪的音乐理论里,就规定了有些调、有些音是不能用的,有些旋律是不能写的。而有些教堂的管风琴,为了应付可能出现的各种情况,就预先准备下许多额外的发音管。以至于有的管风琴的发音管有几百甚至上万根之多。这种音律规则上的缺陷,导致一方面作曲家觉得受到了限制,一方面演奏家也觉得演奏起来太麻烦。
  问题的根源还是出在近似值上。“五度相生律”所依据的(3/2)^12毕竟和2^7并不完全相等。之所以会出现两种半音,就是这个近似值造成的。
  对“五度相生律”12声音阶的进一步修改,东、西方也大致遵循了相似的路线。比如东晋的何承天(370 AD~447 AD),他的做法是把(3/2)^12和2^7之间的差距分成12份,累加地分散到12个音阶上,造成一个等差数列。可惜这只是一种修补工作,并没有从根本上解决问题。西方的做法也是把(3/2)^12和2^7之间的差距分散到其它音符上。但是为了保证主音C和属音G的3/2的比例关系(这个“纯五度”是一个音阶中最重要的和谐,即使是在12声音阶中也是如此),这种分散注定不是平均的,最好的结果也是12音中至少有一个“不在调上”。如果把差距全部分散到12个音阶上的话,就必须破坏C和G之间的“纯五度”,以及C和F之间的4/3比例(术语是“纯四度”)。这样一来,虽然方便了转调,但代价就是音阶再也没有以前好听了。因为一个八度之内最和谐的两个关系――纯五度和纯四度――都被破坏了。
  一直到文艺复兴之前,西方音乐界通行的律法叫“平均音调律”(Meantone temperament),就是在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下,把(3/2)^12和2^7之间的差距尽量分配到12个音上去。这种折衷只是一种无可奈何的妥协,大家其实都在等待新的音律出现。

  终于还是有人想到了彻底的解决办法。不就是在一个八度内均分12份吗?直接就把2:1这个比例关系开12次方不就行了?也就是说,真正的半音比例应该是2^(1/12)。如果12音阶中第一个音的频率是F,那么第二个音的频率就是2^(1/12) F,第三个音就是2^(2/12) F,第四个音是2^(3/12) F,……,第十二个是2^(11/12) F,第十三个就是2^(12/12) F,就是2F,正好是F的八度。
  这是“转调”问题的完全解决。有了这个新的音律,从任何一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上,而对旋律不产生影响。西方巴洛克音乐中,复调音乐对于多重声部的偏爱,有了这个新音律之后,可以说不再有任何障碍了。后来的古典主义音乐,也间接地受益匪浅。可以说没有这个新的音律的话,后来古典主义者、浪漫主义者对于各种音乐调性的探索都是不可能的。
这种新的音律就叫“十二平均律”首先发明它的是一位中国人,叫朱载堉(yù)。他是明朝的一位皇室后代,生于1536年,逝世于1611年。他用珠算开方的办法(珠算开12次方,难度可想而知),首次计算出了十二平均律的正确半音比例,其成就见于所著的《律学新书》一书。很可惜,他的发明,和中国古代其它一些伟大的发明一样,被淹没在历史的尘埃之中了,很少被后人所知。
  西方人提出“十二平均律”,大约比朱载堉晚50年左右。不过很快就传播、流行开来了。主要原因是当时西方音乐界对于解决转调问题的迫切要求。当然,反对“十二平均律”的声音也不少。主要的反对依据就是“十二平均律”破坏了纯五度和纯四度。不过这种破坏程度并不十分明显。

“十二平均律”的12声音阶的频率(近似值)分别是:F(C)、1.059F(C#/Db)、1.122F(D)、1.189F(D#/Eb)、1.260F(E)、1.335F(F)、1.414F(F#/Gb)、1.498F(G)、1.587F(G#/Ab)、1.682F(A)、1.782F(A#/Bb)、1.888F(B)。

  注意,现在所有的半音都一样了,都是2^(1/12),即1.059。以前的自然半音和变化半音的区别没有了。
  另外,原来“五度相生律”的12音阶中,C和G的比例是3/2(即纯五度),现在“十二平均律”的12音阶中,C和G的比例是1.498,和纯五度所要求的3/2(1.5)非常接近。原来“五度相生律”的12音阶中,C和F的比例是4/3(即纯四度),现在“十二平均律”的12音阶中,C和F的比例是1.335,和纯四度所要求的4/3(1.333)也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它完美地解决了转调问题,所以后来“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的统治地位。现在的钢琴就是按“十二平均律”来确定各键音高的。现在学生们学习的do、re、mi也是按“十二平均律”修改过的7声音阶。现在如果想听“五度相生律”或者“纯律”的do、re、mi,已经很不容易了。
  BTW:现在钢琴的音高标准是按“中央C”(即通常的do)右边的第五个白键(按术语说是A4)的频率来定的。这个A键的频率被确定为440HZ。确定了它,钢琴上其它键的频率都可以按“十二平均律”类推得到。不过在某些国家(比如东欧),也有把这个键的频率定为444HZ的。历史上,这个A键的标准曾经有过很多次变化。比如在1759年,英国剑桥的“三一学院”(Trinity College Cambridge)的管风琴的这个A键,就曾经被定在309HZ。可以想像在这里听到的旋律和我们现在听到的旋律该有怎样大的差别。研究古代音乐家的作品的时候,对于当时音高标准的研究也是很重要的一部分。

  关于“十二平均律”,最后要提的是所谓“大调”、“小调”的问题。自从“五度相生律”提出12音阶以来,12音阶和原来的7音阶之间的关系一直就被人们所研究。也就是说,在原来的7音阶之外,现在人们可以在12音阶中选取其它的7个音来作为音乐的“标尺”了。这可以给作曲家们以更大的创作自由。
  以C~高音C的八度为例,如果我们选择原来的7音阶,即C、D、E、F、G、A、B,这就被称为“大调”(major scale),又因为这个大调的主音是C,所以被称为“C大调”。而如果我们选择C、D、D#(Eb)、F、G、G#(Ab)、A#(Bb),这就被称为“c小调”(C minor scale)。用小写c的原因是表示这是小调。
  大调和小调的区别就在于,大调和小调里各音之间的“距离感”不同,以它们为基础来作曲,给听众的感觉也不相同。这就让作曲家有了用音乐表现不同情绪的机会。
  西方中世纪的音乐理论里,曾经提出了8种不同的方法在12音中选7个音作为基准,其中就包含了我们现在谈的大调和小调。当时的音乐理论给予这8种调性(mode)以不同的感情色彩,比如有的被认为是“悲伤的”,有的被认为是“快乐的”,有的被认为是“朝气蓬勃的”等等。这8种调性中有一些现在已经很少用了,现在最流行的是大调和小调这两种。
  由于“十二平均律”允许随意转调,这就让作曲家可以更为地自由创作。以前由于各音之间的半音“不等距”的问题,有些调被认为不能写作的,现在也可以毫无阻碍的进行创作了。