圆的面积公式是如何推导出来的?

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给一个不同的想法:

1.由于确定一个圆只需要圆心和半径,而圆心的位置和面积是没有关系的(图形的平移不变性),所以圆的面积应该是一个关于半径 r 的函数:S = S ( r )。

2.等比例的坐标放缩变换对一维对象的作用是等比放缩,对二维对象的作用是平方放缩,因此各种平面图形的面积S如果满足S = S (d1, d2, ... , dk),那么S (k.d1, k.d2, ... , k.dm) = k^2 . S (d1, d2, ... , dk). 所以圆的面积S ( r ) = r^2 S ( 1 ),它正比于r^2。

3.假设圆的面积S ( r ) = C r^2,那么考虑圆中一个扇形的面积。假设这个扇形的弧边长度是 ar,那么由于圆形的对称性,扇形的面积和整个圆形面积的比值应该等于弧长和圆周长的比值
S(扇形)/S(圆形) = ar/圆周长

4.在弧长趋于0的时候,可以将扇形看成是以弧长ar为高,半径 r 为底的三角形,面积约等于 ar^2/2,
所以a趋于0的时候,
ar^2/2Cr^2 ~ ar/圆周长
也就是说,圆周长/2r = C
所以C等于圆周率π。
圆面积 = (圆周/2) x 半径 = (π x 半径) x 半径 = π x 半径²

如下图所示