怎样向非专业人士专业地解释「纳什均衡」?

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“不后悔”

这是Yale的《博弈论》公开课上给出的一个直观解释,也是我目前看到的最容易理解的解释。

不过我以为这个解释还不够严谨。纳什均衡在一些博弈中并非共同最优的结果,如常被拿出来说事的“囚徒困境”中,纳什均衡结果是两人均认罪,而这个结果对两个人而言都是不如两人均不认罪的结果的。如果不对“不后悔”做一点补充,可能会造成歧义。于是解释不得不变得稍微复杂一点:

给定其他人的策略不变,每一个参与者对于自己的选择都“不后悔”。

而之所以合作结果不能成为均衡结果,正是因为给定一方“合作”(不认罪)时,另一方就会有将策略改为“背叛”(认罪)的激励。即合作结果将会使双方都后悔。

对于这样的“不后悔”,有一个专业术语——“最优反应”(best response),于是可以进一步修改对纳什均衡的解释:

每个人的策略都是对其他人的策略的最优反应。

这个相对规范的表述也不难理解嘛:)


补充:

1、“囚徒困境”中的背叛结果是一个纯策略纳什均衡的例子,对于混合策略纳什均衡,这个解释也是成立的~

2、Dixit的Games of Strategy上更规范的定义:A Nash Equilibrium in a game is a list of strategies, one for each player, such that no player can get a better payoff by switching to some other strategy that is available to her while all other players adhere to the strategies specified for them in the list.

都要求“专业的解释”了,怎么能没有证明呢

都说了是“非专业人士”了,怎么能拽数学符号呢

所以这题挺难啊 这是加分题啊

答完了我能不能保送啊

纳什均衡说的是这么一种状态:在给定其它人的策略的情况下,每个人都已经做到最好了,没有谁可以通过独自改变策略而增加收益。

纳什均衡在数学上就是一个不动点的概念。在给出存在性的证明之前,咱们先来说明不动点的概念和不动点定理。

什么是“不动点”呢?方程f(x)=x 的解就是不动点。

首先把f( )看作一种变换/映射--f( )把x对应为 y=f(x),其中x和y分别是属于集合X和Y的两个元素。如果X=Y,那么方程f(x)=x的几何意义就是:一个映射f( )将x变成自己,即x在f 的 映射下是不变的,所以我们才把f(x)=x 的解叫做f()的不动点。

Brouwer不动点定理 说的就是满足一些性质的函数 一定存在不动点

(Brouwer Fixed Point Theorem In Convex Compact Set)

Every continuous function from a convex compact subset K of a Euclidean space to K itself has a fixed point.

嗯 我就不翻译了 反正翻译成中文更难理解。

这个Brouwer不动点定理有很强的几何直观,可是数学证明超级难,我当然不会证。。。 但是我们举个栗子来简单感受一下

考虑二维的case:

想象你有一台精确的理想GPS,但是屏幕严重变形,并且这个变形并不要求均匀按比例,而是全看心情随意扭曲。以至于屏幕上显示的是一个变形且缩小的地图。如果我们把地球看作一个大的地图A,GPS屏幕上的地图B看作对A的缩小变形,那么地图A上的每一个点在B上都有了新的位置,可能B的纽约在A的波士顿位置,B的芝加哥在A的加州。但不动点原理告诉我们:B上必有一个点位置没有动,即这个点在两张地图A、B上表示相同的位置。而!且!屏幕上显示你当前位置的点就是“不动点”哦

所以说,当你用地图查找你所处的位置时,就是找不动点的过程,假如你的地图又很不规则,那么你其实正在做一件数学上很困难的事情,找到不动点。你很厉害啊!

说回纳什均衡

其实直接用来证明纳什存在性定理的不动点定理还不是Brouwer fixed point,而是Kakutani不动点定理。这个Kakutani fixed point theorem说的是Let S be a non-empty, compact and convexsubset of some Euclidean space R^n. Let φ: S →2^S be a set-valued function on S with a closed graph and the property that φ(x) is non-empty and convex for all x ∈ S. Then φ has a fixed point.

说的是对于欧式空间(有限维向量空间)中 任一非空,紧(有界闭),凸子集S,S的一个上半连续的self correspondence φ (所谓correpondence就是把x映射到一个集)且对S中每个x, φ(x)都是S的一个非空凸子集。那么,S中一定存在不动点。


纳什均衡的证明 就是依据效用函数的连续性有限个纯策略数,且混合策略仍在strategy set里,依次证明 最优反应混合战略R(-i) 满足非空 凸。然后构造对应R,将strategy set中的点映射于strategy set中的子集, 再证R是上半连续的--证出来R是映到自身的一个上半连续correspondence。这样根据角谷不动点定理,存在策略集中的某个混合战略组合x, 使得x\in R(x).这个x就是这个game的一个纳什均衡了。

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我还是不行啊 最后那个数学证明好像还是没说明白 有空再好好说一遍